Flexibilität höherer Ordnung von geometrischen Strukturen

Ein Stabwerk besteht aus Knoten, welche in einer gewissen Kombinatorik mittels Stäben miteinander verbunden sind. Indem man nun den Stäben Längen zuweist, legt man die innere Metrik des ebenen/räumlichen Stabwerks fest, jedoch ist dadurch dessen Einbettung in die/den Euklidische Ebene/Raum im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt; sprich es gibt für gewöhnlich mehrere Realisierungen. Diese resultieren aus dem Lösen eines Systems von quadratischen Gleichungen, welche sich aus den quadrierten Abständen von entsprechenden Knoten ergeben. Man nennt eine Realisierung starr, wenn diese mit einer isolierten Lösung des Gleichungssystems korrespondiert. Hingegen bezeichnet man eine Realisierung als wackelig der Ordnung n-1 wenn diese einer n-fachen Lösung des Gleichungssystems entspricht; also n>1 Realisierungen zusammenfallen. Jedoch ist die Bestimmung der Flexionen (Eigenbeweglichkeiten), welche mit wackeligen Realisierungen höherer Ordnung assoziiert sind, ein noch offenes Problem, dem das Hauptaugenmerk des Forschungsprojekts gilt. Betrachtet man zwei unterschiedliche Realisierungen eines Stabwerks, welche beliebige relative Lage zueinander haben, dann kann aus den Mittelpunkten entsprechender Knoten wieder ein Stabwerk gleicher Kombinatorik (aber unterschiedlicher innerer Metrik) erzeugt werden. Es ist bekannt, dass dieses gemittelte Stabwerk eine Wackeligkeit aufweist, wobei diese im Allgemeinen von erster Ordnung ist. Ein weiteres Ziel des Forschungsprojekts liegt nun darin diese Mittelungstechnik zu verallgemeinern hinsichtlich der Konstruktion von wackeligen Stabwerken höherer Ordnung. Weiters sollen systematisch geometrische Strukturen entworfen und analysiert werden, welche spezielle Wackeligkeitseigenschaften aufweisen; wie zum Beispiel Mechanismen mit Stillstandslagen beliebig hoher Ordnung, die als Verallgemeinerung des wohlbekannten Doppel-Watt Mechanismus von Connelly und Servatius angesehen werden können. Zu Demonstrationszwecken ist auch der Bau von entsprechenden Modellen mit Hilfe von 3D-Druckern geplant. Das Forschungsprojekt wird in der Forschungsabteilung Differentialgeometrie und geometrische Strukturen des Instituts für Diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien unter der Leitung von Georg Nawratil ausgeführt, der den gesamten Projektantrag erdacht und formuliert hat.