Determiniertheit und Nicht-Klassizität in der Arithmetik

Das Selbstbild des Mathematikers wird oft als das eines Theoretikers dargestellt, der einen Bereich unveränderlicher Wahrheiten studiert, einen Bereich ohne Mehrdeutigkeit oder Unbestimmtheit. Ein bekanntes Beispiel ist die Goldbachsche Vermutung, die besagt, dass jede gerade Zahl größer als zwei die Summe zweier Primzahlen ist. Obwohl sie derzeit noch offen ist, hat die Vermutung nach orthodoxer Auffassung einen determinierten Wahrheitswert: Es ist eine Tatsache, ob die Vermutung wahr ist. Die gegenteilige Ansicht, dass die Vermutung in Bezug auf einige beabsichtigte Arten der Interpretation unserer mathematischen Theorien wahr, in Bezug auf andere aber falsch ist, würden die meisten als fehlgeleitet ansehen. Und was für die Goldbachsche Vermutung gilt, soll auch für jeden anderen Satz in der Sprache der Mathematik gelten. Aber ist dieses Bild im Lichte der Mathematik und Philosophie des zwanzigsten Jahrhunderts haltbar? Es scheint nicht so. Die Arbeit mehrerer Logiker hat gezeigt, wie weit verbreitet die so genannten unabhängigen mathematischen Sätze sind. Dabei handelt es sich um Sätze manchmal von sehr einfacher Form, ähnlich der Goldbachschen Vermutung die sich weder mit unseren gängigen mathematischen Theorien allein beweisen lassen, noch mit ihren Negationen. Logische Standardresultate scheinen darauf hinzudeuten, dass unabhängige Sätze in Bezug auf einige beabsichtigte Arten der Interpretation unserer mathematischen Theorien wahr und in Bezug auf andere falsch sind, was zu Fällen von Unbestimmtheit führt. Angesichts der Unabhängigkeitsresultate spalten sich die Philosophen der Mathematik in zwei große Lager: Einige stützen sich auf das Selbstverständnis der Mathematiker und argumentieren, dass die Unabhängigkeit nur zeigt, dass unsere Theorien die mathematische Wahrheit nicht genau genug beschreiben, während andere der Orthodoxie abschwören und akzeptieren, dass einige mathematische Sätze einfach keine determinierten Wahrheitswerte haben. Wir sind der Meinung, dass der Fortschritt bei Fragen zur Determiniertheit dadurch behindert wurde, dass sich die Forscher strikt auf die klassische Logik verlassen haben. Das heißt, dass Fragen zur Determiniertheit im Großen und Ganzen innerhalb eines einzigen logischen Rahmens - mit seinen besonderen Regeln, Sprachen und anderen formalen Eigenschaften - untersucht wurden, was unserer Meinung nach dazu geführt hat, dass wichtige mathematische Strukturen zusammen mit den philosophischen Informationen, die diese Strukturen liefern, verschleiert wurden. In diesem Projekt entwickeln wir systematisch den unverwechselbaren dialektischen Ansatz, traditionelle Theoreme und Argumente durch die Linse der nichtklassischen Logik zu analysieren. Wir behaupten, dass die Anwendung der nicht-klassischen Logik die These der mathematischen Unbestimmtheit stützt und eine frühere Vermutung in der Literatur bestätigt, dass das gegenwärtige Vertrauen in die arithmetische Bestimmtheit lediglich von den gegenwärtigen mathematischen Techniken abhängig ist. Darüber hinaus ebnen unsere Ergebnisse den Weg für neue Theorien der Arithmetik und ihrer Philosophie und bieten originelle Perspektiven auf alte philosophische Probleme über Wahrheit und Referenz.