Eigenvarietäten und p-adische L-Funktionen

Das Projekt untersucht eine tiefe und alte Frage der Algebra und Zahlentheorie: wie verborgene Gesetzmäßigkeiten der Zahlen mit dem Verhalten besonderer mathematischer Objekte sogenannter L-Funktionen verknüpft sind. Diese L-Funktionen sind ihrerseits geometrischer und komplex-analytischer Natur und spielen eine zentrale Rolle in Algebra und Geometrie, weil sie wichtige arithmetische Informationen und Invarianten kodieren. Das Verständnis ihrer Werte ist der Schlüssel für ein tieferes Verständnis von grundlegenden Eigenschaften (algebraischer) diophantischer Polynomgleichungen, wie zum Beispiel von elliptischen Kurven. Eine zentrale Rolle spielt hier in den letzten Jahrzehnten das Langlands-Programm, welches ein ganzes Netz tiefliegender Vermutungen darstellt, das nahelegt, dass verschiedene Bereiche der Mathematik (komplexe Analysis, Algebra und Geometrie) auf genauso tiefgehende wie natürliche Weise miteinander verbunden sind. Ein Teil dieses Programms erklärt, wie bestimmte Funktionen der komplexen Analysis, die bestimmte Symmetrien erfüllen (sogenannte automorphe Formen), direkt mit Objekten der Algebra und Zahlentheorie den Galoisdarstellungen sowie mit algebraischen Polynomgleichungen in mehreren Variablen verknüpft sind. Berühmte mathematische Durchbrüche, wie der Beweis von Fermats letztem Satz durch Andrew Wiles, beruhen auf eben diesen Ideen. Das vorliegende Projekt fokussiert auf ein modernes Werkzeug der Zahlentheorie und arithmetischen Geometrie, die sogenannten Eigenvarietäten. Dies sind geometrische Objekte (Räume), welche große Familien automorpher Formen in einem Kontinuum reorganisieren, jedoch in Bezug auf die p-adische, statt die übliche archimedische Distanz. Durch die Untersuchung der Gestalt dieser Räume kann man Muster erkennen, welche die Geometrie mit den Werten p-adischer L-Funktionen in Verbindung setzen einem p-adischen Analogon klassischer L-Funktionen, das tiefe arithmetische Information in sich trägt. In diesem Projekt wollen wir neue Arten von Eigenvarietäten konstruieren und ihre lokale Geometrie an bestimmten Kreuzungspunkten untersuchen, die mit Nullstellen p-adischer L- Funktionen zusammenhängen. Für das Verständnis dieses Phänomens ist entscheidend gewisse Ableitungen zu berechnen und sie mit arithmetischen Invarianten der Zahlentheorie in Beziehung zu setzen. Durch die Kombination von Methoden der Geometrie, p-adischen Analysis und Galoistheorie zielt dieses Forschungsprojekt darauf ab, unser Verständnis dafür zu vertiefen, wie fundamentale arithmetische Invarianten mit den Werten p-adischer L- Funktionen verknüpft sind. Diese Einsichten tragen zu zentralen offenen Problemen der modernen Zahlentheorie bei.