Eingebettete isotherme Tori aus holomorphen Abbildungen

Seifenblasen und Seifenhäute, die sich zwischen gebogenen Drahtformen spannen, lassen sich mit Hilfe sogenannter Minimalflächen oder Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung (CMC-Flächen) mathematisch beschreiben. Diese Flächen treten nicht nur in der alltäglichen Physik auf, sondern auch in abstrakteren Räumen mit konstanter Krümmung etwa im hyperbolischen oder elliptischen Raum. All diese Flächen gehören zu der Klasse der Isothermflächen. Sie sind durch die lokale Existenz von konformen Krümmungslinien charakterisiert mit anderen Worten: diese Flächen können entlang von Krümmungslinien durch infinitesimale, konforme Quadrate überdeckt werden. Isotherme Flächenstücke wurden bereits von klassischen Geometern wie Darboux und Bianchi studiert. Große Fortschritte in neuerer Zeit wurden vor allem durch den Zusammenhang zu integrablen Systemen erlangt. Viele Resultate in diesem Bereich sind jedoch nur lokal, also für kleine Flächenstücke, gültig. Globale Eigenschaften etwa Symmetrien, Periodizität, Geschlossenheit oder die Frage, ob sich die Fläche ohne Selbstüberschneidungen in den Raum einbetten lässt sind erst in jüngerer Zeit verstärkt in den Fokus gerückt. Diese globalen Aspekte sind bisher nur unvollständig verstanden. In unserem Forschungsprojekt möchten wir solche globalen isothermen Strukturen für Tori untersuchen also auf Flächen, die topologisch die Form eines Schwimmreifens besitzen. Unser Fokus liegt dabei auf einer speziellen Klasse dieser Tori, die von einer Familie sphärischer Krümmungslinien überdeckt sind. Zu dieser Klasse gehören unter anderem die berühmten Wente Tori die ersten bekannten Beispiele geschlossener, kompakter, aber nicht kugelförmiger Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung. Ein zentrales Werkzeug in unserem Projekt ist eine neu entwickelte Konstruktionsmethode, die sogenannte Co-Faltung (engl. Lifted-folding). Dieses Konzept wurde kürzlich für diskrete Isothermflächen gefunden und erlaubt es, solche Flächen aus einfachen Bausteinen zu rekonstruieren: aus speziellen holomorphen Abbildungen mit kreisförmigen Faltachsen und reellen Faltungsfunktionen. Dieser Ansatz erleichtert insbesondere die Kontrolle globaler Eigenschaften: Periodizität und Einbettung der sphärischen Krümmungslinien werden bereits durch die Wahl der holomorphen Abbildung bestimmt.