Vielfachheiten zwischen modularen Kongruenzen

Ich arbeitet im Bereich der Zahlentheorie. Die Hauptprobleme in diesem Thema sind sehr einfach zu verstehen. Die Lösungen jedoch, sind oft sehr schwierig. Die Hauptprobleme sehen außerdem unwichtig aus. Und dennoch hilft diese Mathematik bei der Verschlüsselung und mit der Kryptographie, beispielsweise der Sicherheit Ihres virtuellen Bankzugangs. Ein wichtiges Problem der Zahlentheorie umfasst Partitionen. Eine Partition ist die Darstellung einer Zahl als Summe anderer Zahlen. Zum Beispiel, die Zahl 4 hat 5 Partitionen: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1. Naturlich schließen wir auch 4 ein und die Reihung ist unwichtig (zum Beispiel, 3+1 und 1+3 sind für uns gleich). Diese Idee ist einfach: wir brauchen nur ganze Zahlen (1, 2, 3, 4, 5,) und Addition. Zählen wir die Anzahl der Partitionen für jede ganze Zahl. Dies ist bei kleinen Zahlen einfach. Zum Beispiel, 1 hat nur 1 Partition (1), und 2 hat nur 2 (2, 1+1). Diese Zahlen wachsen jedoch sehr schnell: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, Es gibt keine Muster. Wir wissen nicht, welche Zahlen gerade oder ungerade oder Primzahlen oder Quadratzahlen sind. Zählen wir aber nur die Anzahl der Partitionen für ganze Zahlen mit der letzten Ziffer 4 oder 9 (4, 9, 14, 19, 24, 29,), ergibt die Anzahl der Partitionen für nur diese Zahlen die folgende Sequenz: 5, 30, 135, 490, Jede Zahl ist durch 5 teilbar. Wir nennen diese Eigenschaft Kongruenz. Es gibt andere Kongruenzen für 5, 25, 125, und jede weitere Potenz von 5. Es gibt auch Kongruenzen für Potenzen von 7 und 11. Wir haben entdeckt, dass andere Sequenzen auch Kongruenzen haben. Es gibt viele wichtige Zahlenfolgen, die wahllos aussehen, aber überraschende geordnete Kongruenzen enthalten. Manche Kongruenzen sind tatsächlich einfach zu verstehen, wohingegen andere Kongruenzen sehr schwer zu verstehen sind. Es gibt auch heute noch unbewiesene Kongruenzen. Warum existieren Kongruenzen? Wir wissen es nicht genau. Wir wissen jedoch, dass das Problem mit den schwierigsten Problemen der Zahlentheorie zusammenhängt. Wir haben vor Kurzem die Kenntnis erlangt, dass Kongruenzen manchmal von einer Sequenz zur anderen springen können. Das bedeutet, eine Zahlenfolge kann eine Kongruenze haben, weil eine andere unabhängige Zahlenfolge eine Kongruenz hat. Dieses Phänomen kann nur bei schwierigen Kongruenzen geschehen. Wenn wir das verstehen, können wir das ganze Thema besser verstehen. Dies könnte tatsächlich Auswirkungen auf die gesamte Zahlentheorie haben. Mein Projekt wird sich auf dieses neue Verhalten konzentrieren.