Verschränkungsstruktur und Topologie

Verschränkung ist eines der faszinierendsten Merkmale der Quantenmechanik. Sie entspricht eine besondere Art von Korrelationen, die in der Wellenfunktion codiert ist, und den wichtigsten Bestandteil hinter dem Konzept der Quantencomputing darstellt. Darüber hinaus spielt die Verschränkung eine zentrale Rolle bei der Beschreibung von Phasen der Quantenmaterie bei sehr tiefen Temperaturen und beim Verständnis ihrer fundamentalen Eigenschaften. In den letzten Jahrzehnten hat sich daher die Charakterisierung der Verschränkung zu einer zentralen Forschungsrichtung im Bereich Quanten-Vielteilchensysteme entwickelt. Eine faszinierende Eigenschaft bestimmter Phasen der Quantenmaterie ist das Auftreten von topologischer Ordnung. Diese Phasen entziehen sich der konventionellen Beschreibung von Phasenübergängen auf Basis von Symmetriebrechung und lokalen Ordnungsparametern und weisen eine besondere Form weitreichender Verschränkung auf. Topologische Ordnung lässt sich unter anderem mithilfe der topologischen Entropie identifizieren, einem speziellen Maß für Verschränkung. Eine detaillierte Untersuchung der Verschränkungsstruktur offenbart jedoch deutlich mehr Informationen und zeigt charakteristische Merkmale der zugrunde liegenden topologischen Ordnung. Das Hauptziel dieses Projektes ist es, die Ortsraumstruktur der Verschränkung in dem Grundzustand paradigmatischer Quanten-Vielteilchensysteme mit topologischen Eigenschaften zu erforschen. Im Fokus unserer Untersuchungen steht der sogenannte Verschränkungsoperator, der eine vollständige Charakterisierung der Verschränkung zwischen einem Teilsystem und seiner Umgebung liefert. Der Aufbau ist dabei völlig analog zu dem in der statistischen Mechanik, wo ein Teilsystem durch ein thermisches Ensemble mit dem physikalischen Hamiltonoperator beschrieben wird. Die zentrale Frage ist also, ob es eine Beziehung zwischen dem Verschränkungoperator und dem physikalischen Hamiltonoperator gibt. Bemerkenswerterweise kann diese Frage für eine große Klasse von Vielteilchen-Grundzuständen positiv beantwortet werden: die Verschränkungsstruktur kann effektiv durch einen thermischen Zustand mit ortsabhängiger Temperatur beschrieben werden. Daraus ergibt sich einen Verschränkungsoperator mit einer lokalen Struktur. Die entscheidende Fragestellung dieses Projektes ist, wie diese Lokalität durch topologische Ordnung beeinflusst wird. Unsere primären Untersuchungsobjekte sind Quanten-Hall-Zustände, die die bekanntesten Systeme mit topologischen Eigenschaften darstellen und eine hohe experimentelle Relevanz besitzen. Darüber hinaus werden wir topologische Defekte in eindimensionalen Quantenketten betrachten, die nichttriviale topologische Phasen ermöglichen. Neben neuartigen theoretischen Erkenntnissen über das Zusammenspiel von Topologie und Verschränkung, könnten die Ergebnisse auch zur Entwicklung tomographischer Protokolle in der Quantensimulation topologischer Zustände beitragen.