Klassifikationsprobleme für Bewertungen konvexer Funktionen

Der Begriff der Bewertungen, d. h. endlich additiver Funktionen, spielt bei vielen Problemen in der Geometrie eine Schlüsselrolle, und Beziehungen zwischen verschiedenen geometrischen Größen können als Transformationen zwischen verschiedenen Familien von Bewertungen kodiert werden. So lässt sich beispielsweise die Oberfläche eines konvexen Körpers berechnen, indem man die Flächen der Schatten in alle Richtungen mittelt - mit anderen Worten, man erhält die Oberfläche, indem man die Fläche geeigneter niederdimensionaler Projektionen betrachtet. Dieses Ergebnis geht im dreidimensionalen Fall auf Cauchy zurück, aber es gibt auch höherdimensionale Versionen dieses Ergebnisses für eine Vielzahl von geometrischen Größen. Eine sehr einfache Erklärung für die Existenz solcher Formeln lieferte Hadwiger in seinem fundamentalen Satz über die Klassifizierung von stetigen und bewegungsinvarianten Bewertungen auf konvexen Körpern. Er zeigte, dass jede derartige Bewertung eine Kombination der intrinsischen Volumina sein muss, die eine endliche Familie von Bewertungen in jeder Dimension bilden. Insbesondere können viele integralgeometrische Formeln als Bewertungen dieser Art interpretiert werden und lassen sich daher auf Kombinationen der intrinsischen Volumina reduzieren. In jüngerer Zeit hat Semyon Alesker gezeigt, dass für viele Familien von Symmetrien der entsprechende Raum der stetigen invarianten Bewertungen auf konvexen Körpern ebenfalls durch eine endliche Menge von Bewertungen erzeugt wird. Für alle diese Fälle wurden verschiedene integralgeometrische Formeln gezeigt, insbesondere für komplexe Vektorräume. Vor etwa 15 Jahren wurde der Begriff der Bewertung durch Monika Ludwig von Mengen auf Funktionen erweitert. Im Rahmen dieser Verallgemeinerung wurden die intrinsischen Volumina von konvexen Körpern auf konvexe Funktionen ausgedehnt, was zu den so genannten funktionalen intrinsischen Volumina führte, die viele ihrer Eigenschaften teilen und für die ein Klassifizierungsergebnis analog zu Hadwigers Resultat existiert. Das Projekt zielt darauf ab, allgemeine Charakterisierungsergebnisse für Bewertungen auf konvexen Funktionen zu erhalten, die unter anderen Symmetriegruppen invariant sind, und geeignete Darstellungsformeln für diese Funktionale aufzustellen. Insbesondere schlagen wir vor, diese Charakterisierungsergebnisse zu nutzen, um verschiedene Darstellungsformeln zu erhalten und die Transformationen zu bestimmen, die diese Beschreibungen verbinden. Wir erwarten, dass dies zu neuen integralgeometrischen Formeln für Bewertungen auf konvexen Funktionen sowie Monge-Ampère-Operatoren führen wird, welche bis jetzt das Hauptwerkzeug zur Konstruktion invarianter Bewertungen waren. Unser Hauptaugenmerk wird auf invarianten Bewertungen auf komplexen Vektorräumen liegen, welche im geometrischen Rahmen gut verstanden sind, während erst vor kurzem ein korrespondierendes Charakterisierungsergebnis für Bewertungen auf konvexen Funktionen gezeigt wurde.