Der unitäre Dual p-adischer klassischer Gruppen

Eine Klassifizierung ist eine Liste von Objekten, die nach bestimmten Eigenschaften gruppiert sind. In der Wissenschaft spielen Klassifizierungen eine entscheidende Rolle. Tatsächlich ermöglichen Klassifizierungen Forschern, die nach Objekten mit bestimmten Merkmalen suchen, durch Verweis auf diese Klassifizierungen potenzielle Objekte zu identifizieren, mit denen sie sich befassen. Das lokale Langlands-Programm gilt als eine der bedeutendsten Fortschritte in der Zahlentheorie der letzten Jahrzehnte. Dieses Programm soll die Reihe von Darstellungen bestimmter lokaler Gruppen in Bezug auf bestimmte arithmetische Parameter klassifizieren. Diese Vermutungen wurden kürzlich von Jim Arthur bewiesen (unter Verwendung der gemeinsamen Arbeit vieler Mathematiker) für einige Gruppen, die als "klassisch" bezeichnet werden und über die Mathematik hinaus eine wichtige Bedeutung haben, die sich auch auf Bereiche wie die Physik erstreckt. Dennoch bleibt diese Klassifizierung äußerst abstrakt: Obwohl jedem arithmetischen Parameter eine eindeutige Darstellung entspricht, bleibt die Charakterisierung der Eigenschaften der Darstellung allein auf der Grundlage des Parameters eine anspruchsvolle Aufgabe. In diesem Projekt werden wir versuchen zu verstehen, wie der Parameter aussieht, wenn die Darstellung "unitarisierbar" ist: Diese Darstellungen sind in verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen von großer Bedeutung, was es zu einer beträchtlichen Leistung macht, sie zu klassifizieren. Da die Zahlentheorie oft auf praktische Erfahrungen zurückgreift, wird dieses Forschungsprojekt damit beginnen, einfache Beispiele zu erarbeiten. Diese dienen als grundlegende Illustrationen, um den potenziellen Aufbau der übergreifenden Theorie zu verdeutlichen.