Algebraische Lösungen von Differentialgleichungen II

Das Projekt ist in der algebraischen Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit polynomialen Koeffizienten angesiedelt. Im komplexen Bereich wird eine Gleichung als Fuchs`sch bezeichnet, wenn alle ihre Singularitäten regulär sind, d.h. wenn die lokalen Lösungen an den singulären Punkten höchstens polynomielles Wachstum aufweisen. Es gibt rein algebraische Charakterisierungen der Regularität, und daher eignet sich das Konzept auch für Differentialgleichungen in positiver Charakteristik. Andererseits ist die Existenz algebraischer Lösungen in Charakteristik Null noch nicht vollständig geklärt und stellt ein weites Feld aktiver Forschung dar. Zielsetzung: Schon die Exponentialfunktion exp in Charakteristik p ist ein interessantes Beispiel. Um die entsprechende Gleichung zu lösen, muss man nämlich unendlich viele Variablen einführen, die die Iteration des komplexen Logarithmus nachahmen. Überraschenderweise erhält man eine Projektion von exp, die sich als algebraische Funktion erweist, wenn man alle bis auf endlich viele Variablen gleich Null setzt. Dies gilt für alle Gleichungen erster Ordnung mit regulären Singularitäten. Die Ausweitung dieser Beobachtung auf Gleichungen höherer Ordnung ist eine Zielsetzung des neuen Projekts. Die zweite Richtung betrifft die differentielle Artin-Approximation (in Charakteristik Null) und zielt darauf ab, die Techniken von Artin, Popescu, Néron-Desingularisierung und Denef-Lipshitz zu erweitern, um ein starkes Approximationsergebnis für (bestimmte) Differentialgleichungen zu erhalten. Dies wird mit den höheren Krümmungen der ebenen Kurve in Zusammenhang gebracht, die durch das minimale Polynom der algebraischer Funktion definiert ist. Beide Forschungsrichtungen setzen die laufenden Studien des PI fort. DieTechniken werden eine Mischung aus Methoden der kommutativen Algebra, Differentialalgebra und Differentialgaloistheorie, Deformations- und Störungstheorie, Kombinatorik, Arithmetik und experimentellen Studien sein. Die Expertise des PI in der Singularitätentheorie algebraischer Varietäten wird der Untersuchung der Singularitäten von Differentialgleichungen eine neue Aspekt verleihen. Differentialgleichungen in positiver Charakteristik sind nur teilweise erforscht, scheinen aber, wie unsere Studien zeigen, hochstrukturierte Muster aufzuweisen.