Algorithmen für D-algebraische Funktionen

Wenn man Glück hat, kann man eine mathematische Funktion durch eine explizite Formel beschreiben, zum Beispiel f(x)=x^3. Mit solchen Ausdrücken kann man gut arbeiten. Die meisten Funktionen, denen man in der Mathematik begegnet, lassen sich aber nicht so einfach beschreiben. Sie sind zu kompliziert, um mit einer einzelnen Formel beschrieben werden zu können. Deshalb sucht man nach alternativen Möglichkeiten, um Funktionen zu beschreiben. Eine solche alternative Möglichkeit bieten sogenannte Differentialgleichungen. Das sind Gleichungen, die eine Beziehung zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen ausdrücken, zum Beispiel x*f`(x) - 3*f(x) = 0. Es gibt viele Funktionen, die sich nicht durch einen Ausdruck beschreiben lassen, aber durch so eine Differentialgleichung. Auch mit diesen Darstellungen kann man gut rechnen. Das gilt zumindest für bestimmte Differentialgleichungen. In den letzten Jahrzehnten hat man im Bereich der Computeralgebra vor allem sogenannte lineare Differentialgleichungen untersucht, weil man mit diesen besonders gut rechnen kann und sie eine recht große Menge von interessanten Funktionen abdecken. Manchmal hat man es aber auch mit Funktionen zu tun, für deren Beschreibung man kompliziertere Differentialgleichen braucht. Um solche Differentialgleichungen, und um die Funktionen, die von diesen beschrieben werden können, geht es in dem Projekt. Wir wollen Computeralgebra-Methoden entwickeln, die typische Fragen über solche Funktionen automatisch beantworten können. Ein einfaches Beispiel ist die Frage nach der Differentialgleichung, die das Produkt von zwei gegebenen Funktionen beschreibt, die ihrerseits durch Differentialgleichungen beschrieben sind. Für diese und weitere Fragen gibt es derzeit nur sehr rudimentäre Methoden, zum Teil noch gar keine. Das ist problematisch, weil Funktionen, die durch nicht-lineare Differentialgleichungen beschrieben sind, in letzter Zeit vermehrt in verschiedenen anderen Bereichen der Mathematik aufgetreten sind. Die Methoden, die in diesem Projekt entwickelt werden, sind deshalb nicht nur von theoretischem Interesse, sondern sie werden auch gebraucht. Zu den erhofften Zielen des Projektes gehören deshalb nicht nur neue Erkenntnisse darüber, wie man mit komplizierten Funktionen rechnen kann, sondern auch die Implementierung der entsprechenden Methoden in brauchbarer Computeralgebrasoftware, damit die entwickelten Methoden in anderen Bereichen der Wissenschaft gewinnbringend eingesetzt werden können.