Geometrische Wellengleichungen - neue Fragen

Das Forschungsprojekt befasst sich mit neuartigen mathematischen Fragestellungen zu nichtlinearen geometrischen Wellengleichungen. Diese Klasse von Gleichungen beschreibt viele Aspekte der modernen Physik, von der einfachen schwingenden Saite bis zur allgemeinen Relativitätstheorie und der Teilchenphysik. Physikalische Systeme werden ganz allgemein durch einen Anfangszustand charakterisiert, dessen zeitliche Entwicklung dann durch Lösen der entsprechenden Bewegungsgleichung bestimmt werden kann. Aus mathematischer Sicht verlangt dieses Vorgehen eine Lösungstheorie für die jeweilige Gleichung. Es ist das Ziel des Projekts, eine solche für viele zur Zeit unverstandene Modelle zu entwickeln. Ein besonderer Schwerpunkt liegt dabei auf sogenannten Kontrollproblemen, wo neben dem Anfangszustand auch der Endzustand vorgegeben ist und letzterer durch äußere Beeinflussung des Systems hergestellt werden soll. Die Frage ist dann, ob jeder beliebige Endzustand erreicht werden kann und mit welchem Aufwand das verbunden ist. Weiters sind physikalische Systeme immer Störungen ausgesetzt. Mathematisch zulässige Lösungen sind daher nur dann physikalisch relevant, wenn sie eine gewisse Stabilität gegenüber Störungen aufweisen. Das erfordert eine entsprechende Stabilitätstheorie, deren Entwicklung ebenfalls im Zentrum des Forschungsprojekts steht. Es sollen dabei insbesondere zufällige Störungen wie Rauschen untersucht werden. Alle diese Fragen sind für geometrische Wellengleichungen bislang völlig offen und werden im vorliegenden Projekt erstmals untersucht.