Randwertprobleme, Weylfunktionen und Differentialoperatoren

Die vorliegende Monographie ist inhaltlich in den Bereich der mathematischen Analysis, der Funktionalanalysis und Operatortheorie, sowie der Theorie der Differentialgleichungen einzuordnen. Darüber hinaus gibt es enge Bezüge zur mathematischen Physik und zur mathematischen Systemtheorie. Es wird eine allgemeine Klasse von Randwertproblemen für lineare Operatoren in Hilberträumen systematisch mit Hilfe von modernen funktionalanalytischen Techniken untersucht. Die betrachteten abstrakten Fragestellungen sind unmittelbar aus der Theorie und den Anwendungen von Differentialgleichungen motiviert, und die allgemeinen Resultate werden entsprechend auf Randwertprobleme für gewöhnliche und partielle Differentialoperatoren angewandt. Methodisch basiert der Zugang zu den hier betrachteten abstrakten Randwertproblemen auf der Theorie der Randtripel und den zugehörigen Weylfunktionen. Mit Hilfe dieser Techniken können die Spektraleigenschaften der zugehörigen Operatoren, und damit die Lösbarkeit der assoziierten Randwertprobleme, detailliert untersucht und vollständig charakterisiert werden. Die Monographie besteht aus einem abstrakten Teil (Kapitel 1-5) und einem angewandten Teil (Kapitel 6-8), sowie einem Anhang und einem umfangreichen Literaturverzeichnis mit weiterführenden Bemerkungen. Im Anschluss an eine in sich geschlossene Übersicht zu linearen Relationen in Hilberträumen in Kapitel 1 werden Randtripel und deren Weylfunktionen für symmetrische Operatoren und Relationen in Kapitel 2 ausführlich studiert. Die abstrakte Theorie wird in Kapitel 3 zur vollständigen spektralen Beschreibung der selbstadjungierten Erweiterungen weiterentwickelt. In Kapitel 4 werden Operatormodelle in Hilberträumen mit reproduzierendem Kern zur Darstellung von Weylfunktionen diskutiert. Der wichtige Spezialfall von halbbeschränkten Operatoren und Relationen, sowie das Zusammenspiel mit den zugehörigen quadratischen Formen wird in Kapitel 5 untersucht. Schliesslich werden die abstrakten Konzepte in Kapitel 6 auf Sturm-Liouville Operatoren, in Kapitel 7 auf eine Klasse von kanonischen Differentialgleichungs-systemen, und in Kapitel 8 auf mehrdimensionale Schrödingeroperatoren auf beschränkten Gebieten, angewandt. Hierbei besteht das Randtripel in der Regel aus der Dirichlet- und der Neumann-Randabbildung auf dem Definitionsbereich des maximalen Differentialoperators und die zugehörige abstrakte Weylfunktion stimmt mit der klassischen Titchmarsh-Weyl m- Funktion oder der Dirichlet-zu-Neumann Abbildung überein.