Spektralberechnung und freie Wahrscheinlichkeitstheorie

Erwin-Schrödinger-Rückkehrprogramm R 2Spektralberechnung und freie Wahrscheinlichkeitstheorie Franz LEHNER 27.11.2000 Freie Wahrscheinlichkeitstheorie wurde als abstrakter Zugang zur harmonischen Analyse auf der freien Gruppe wurde von D. Voiculescu eingeführt. Ein zentraler Teil dieser Theorie ist die freie Faltung, die die Behandlung von Spektralproblemen im Zusammenhang mit Faltungsoperatoren, deren Träger auf den erzeugenden Elementen des freien Produkts von diskreten Gruppen liegt, ermöglicht. Die freie Faltung wurde auch unabhängig in der Theorie der Irrfahrten auf Gruppen gefunden, wo man an den Spektraldaten des einer Irrfahrt zugeordneten Übergangsoperators interessiert ist. Außerdem hat Voiculescu gezeigt, daß auch Summen von Zufallsmatrizen unbegrenzt wachsender Dimension asymptotisch den Gesetzen der freien Faltung folgen. Voiculescu hat parallel eine Theorie von operatorwertiger freier Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelt, begründet auf dem amalgamierten freien Produkt von Algebren mit bedingten Erwartungen. Matrixwertige bedingte Erwartungen zusammen mit einem Matrixtrick erlauben theoretisch die Lösung von Spektralproblemen beliebiger Faltungsoperatoren mit endlichem Träger auf der freie Gruppe. Unser Projekt beschäftigt sich hauptsächlich mit matrixwertigen und nichtselbstadjungierten Spektralproblemen auf dem freien Produkt diskreter Gruppen, die in der Literatur kaum behandelt sind. Es kann in drei Teile gegliedert werden: - Konkrete Methoden zur Berechnung von Spektren und Spektralradien von matrixwertigen Faltungsoperatoren auf der freien Gruppe. Wir haben eine Methode zur Berechnung der Konturen von Spektren nicht-selbstadjungierter skalarwertiger Faltungsoperatoren auf den Erzeugenden entwickelt, die die Haagerup-Ungleichung und explizite Resolventenberechnung benutzt, und die auf den matrixwertigen Fall erweitert werden kann. - Untersuchung des Verhaltens von orthogonalen Polynomen unter freier Faltung. Mithilfe dieser kann man Formeln für asymptotischen Eigenvektoren angeben und so diese Informationen über das Spektrum des zugeordneten Jacobi-operators erhalten. Anhand dieser Formeln kann man auf analoge asymptotische Eigenvektoren für nicht-selbstadjungierte freie Summen von Operatoren schließen, um deren ganzes Spektrum zu berechnen. - Als Ergänzende Methode zur Spektralberechnung, Auffindung von Kriterien bezüglich Konvergenz der Spektralmaße von Zufallmatrizen gegen das sogenannte Brownsche Spektralmaß des schwachen Grenzwerts.