Boolesche Ultrapotenzen, creatures, Kardinalzahlinvarianten

Das Themengebiet dieses Projektes ist Mengenlehre, genauer Mengenlehre der reellen Zahlen, Kardinalzahlcharakteristiken und großes Kontinuum. 1874 zeigte Cantor dass die Menge der reellen Zahlen größer ist als die der natürlichen Zahlen. Dieses Resultat kann man als das erste Theorem über Kardinalzahlcharakteristiken des Kontinuums ansehen. Es ist von zentraler Bedeutung, z.B., in der reellen Analysis: Wir verwenden oft Begriffe der Kleinheit, wie Lebesgue-Null oder mager, mit der Eigenschaft, dass abzählbare Mengen klein sind. (Wäre also die Menge der reellen Zahlen abzählbar, würden diese Begriffe kein Sinn ergeben). Eine Kardinalzahlcharakteristik ist, grob gesagt, die kleinste Kardinalzahl, bei der eine derartige Kleinheits-Eigenschaft" (die für "abzählbar" gilt) scheitert. Cichons Diagramm beinhaltet einige ZFC beweisbare Ungleichungen zwischen Kardinalzahlcharakteristiken, die mithilfe der Ideale "mager", "null" und "sigma-kompakt" definiert sind. Es war lange Zeit eine offene Frage, wie man mehrere der Einträge in Cichons Diagramm gleichzeitig trennen kann. Gemeinsam mit Kellner und Tonti haben wir gezeigt wie man (unter der Annahme von drei kompakten Kardinalzahlen) acht dieser Werte trennen kann; und kürzlich haben Goldstern, Kellner und Shelah die Frage für alle zehn Einträge gelöst (vier kompakte Kardinalzahlen vorausgesetzt). Mit Kellner und Shelah haben wir danach noch eine weitere (und kompliziertere) Konstruktion für eine andere Reihenfolge der zehn Werte gefunden. Diese Resultate lassen viele interessante Fragen offen: Können wir ohne der Annahme großer Kardinalzahlen auskommen? Können wir beliebige Werte für die beteiligten Kardinalzahlen bekommen? Können wir auch weitere Kardinalzahlcharakteristiken dazufügen? Können wir andere Ordnungen erhalten? Um diese Fragen zu untersuchen, planen wir creature forcings, matrix iterations, endlich additive Maße, Boolsche Ultrapotenzen und eventuell template iterations einzusetzen.

Über einen Zeitraum von drei Jahren ab Oktober 2020 erkundete mein Forschungsprojekt zwei unterschiedliche Richtungen. Der erste Schwerpunkt lag auf den Automorphismen von verallgemeinerten Booleschen Algebren mit dem Ziel, zu zeigen, dass alle Automorphismen trivial sind. Gemeinsam mit Saharon Shelah und Jakob Kellner haben wir den ersten Schritt unternommen, sie dicht trivial zu machen. Der zweite Schritt, die globale Trivialität zu beweisen, bleibt aufgrund der Komplexität ein zukünftiges Forschungsziel. Dieses partielle Ergebnis ist bedeutend, und wir vermuten, dass es mit einer verallgemeinerten Version des Ranom Forcings kombiniert werden kann, um das Endergebnis zu erzielen. In der zweiten Richtung tauchten wir in die Generalized Descriptive Set Theory ein, insbesondere in die Untersuchung von Borel-Mengen und ihren Beziehungen in einem verallgemeinerten Raum. In Zusammenarbeit mit Miguel Moreno betrachteten wir topologische und kombinatorische Aspekte und betonten die Bedeutung des Verständnisses von Borel*-Mengen. Eine bemerkenswerte Erkenntnis war die Unterscheidung zwischen Borel- und Borel*-Mengen unter der ideal Topology, was die Verbindung zwischen der Generalized Descriptive Set Theory unter singulären Kardinalzahlen und Generalized Descriptive Set Theory unter verschiedenen Topologien zeigt. Diese Verbindung eröffnet eine neue Forschungsrichtung mit Kollaborationspotenzial und zukünftigen Anwendungen im generalisierter kardinaler Charakteristiken der Kontinuums.