Universelle Optimalität des hexagonalen Gitters

Symmetrien und periodische Strukturen sind natürlich und faszinierend und ihr Erscheinen ist vielfältig. Die Mathematik kann Modelle von physikalischen, chemischen oder biologischen Vorgängen erstellen um diese zu verstehen. Oft liefern gewisse Strukturen ein Gleichgewicht in einem mathematischen Modell, was eine befriedigende Antwort auf die Frage gibt, warum sich die Objekte genau so anordnen wie sie es eben tun. Ein Beispiel ist die Kristallstruktur von Kochsalz, wo Natrium- und Chlor-Ionen abwechselnd auf Würfelecken sitzen. Ein einfaches Modell wäre eine Ansammlung sich abstoßender Elektronen, ohne äußere Einwirkung. Im sehr einfachen Fall haben wir eine beliebig große Anzahl an Elektronen die sich auf einer Geraden anordnen müssen. Die Mathematik liefert die Antwort, dass sich die Elektronen in gleichen Abständen anordnen. Es mag verblüffen, dass eine unendliche Anzahl Elektronen verteilt auf einer unendlich langen Linie als einfaches Modell gilt. Die Mathematik kann aber sehr gut mit der Unendlichkeit umgehen. Bei einer festen Zahl an Elektronen und beschränktem Platz, müsste man auch Bedingungen für den Rand bedenken, was ein mathematisch komplexeres Modell liefert. Ein wichtiger Punkt für solche Modelle ist, welche mathematische Funktion man für die Abstoßung der Elektronen wählt. Je weiter voneinander entfernt, desto geringer die Wechselwirkung. Aber verhält sich diese proportional zum Abstand, oder doch wie der Abstand zum Quadrat, oder exponentiell zum Abstand? Für jedes Modell muss man eine andere Lösung erwarten. Daher gibt es auch die Fülle an Strukturen in der Natur. Betrachten wir aber unser einfaches Modell, dann bekommen wir jedes Mal dieselbe regelmäßige Anordnung, nie etwas zufälliges oder eine Anordnung von wechselnden kurzen und langen Abständen. Man spricht von einer universell optimalen Lösung. Universell optimale Lösungen sind sehr rar und daher wichtig. Erst kürzlich gelang ein mathematisch unvergleichlicher Durchbruch. Die vermuteten universell optimalen Lösungen im 8- und 24-dimensionalen Raum wurden bestätigt. Im 3-dimensionalen Raum wiederum weiß man, dass es keine universell optimale Struktur geben kann. Nach gegenwärtigem Stand der Wissenschaft, hält Dimension 2 vielleicht eine mathematisch belegbare, universell optimale Struktur bereit: das hexagonale Gitter. Jeder Partikel hat 6 Nachbarn welche sich regelmäßig um ihn gruppieren. Der neue Ansatz in diesem Projekt ist, ein bestimmtes Samplingtheorem zu verwenden um die universelle Optimalität des hexagonalen Gitters zu zeigen. Samplingtheoreme sind mathematische Aussagen darüber, wie viel Information wir von einem Signal brauchen um es vollständig zu kennen. In der mobilen Kommunikation (z.B. WLAN, 4G/5G Technologie) helfen sie Daten effizient und stabil zu übertragen. Die Methode mag zunächst ungeeignet klingen, aber das Problem der universellen Optimalität kann mathematisch als Samplingproblem formuliert werden, wodurch neue mathematische Werkzeuge verwendbar werden.

Das Projekt beschäftigte sich mit Fragestellungen in der diskreten Geometrie in der Ebene. Die Frage kann anhand des folgenden Beispiels gut illustriert werden. Wie sollen Lichtquellen in der Ebene verteilt werden, sodass die Belichtung am dunkelsten Punkt noch sehr hell ist? Das größte Problem ist, dass es extrem schwierig ist den dunkelsten Punkt mathematisch zu bestimmen. Er hängt von einer Reihe an Parametern ab, wie der Anzahl an Lichtquellen pro Fläche oder der Platzierung der Quellen. Es gelang uns mit Hilfe von geometrischen Tricks algebraische Vereinfachungen in der Problemstellung zu erreichen. Diese erlaubten uns das Problem mathematisch zu lösen, wobei wir nur die genaue Lage des dunkelsten Punktes in der angenommenen optimalen Konfiguration kannten. Die Lösung ist, unabhängig von der Anzahl an Lichtquellen pro Fläche, das hexagonale Gitter (jede Quelle hat genau 6 Nachbarn welche ein reguläres Sechseck bilden). Das Ergebnis an sich ist nicht überraschend und alle numerischen Untersuchungen in diese Richtung schlugen diese Lösung vor. Allerdings galt das Problem bis zu unserer Arbeit als mathematisch gänzlich ungelöst und die Art unserer Lösung, welche im Allgemeinen keine Kenntnis über die genaue Lage des dunkelsten Punktes benötigt, ist als großer mathematischer Durchbruch zu sehen. Zudem zeigt unsere Lösung dass es eine eindeutige beste Anordnung unter einer unendlichen Anzahl von Konfigurationen gibt. Numerische Methoden können stets nur eine kleine (endliche) Anzahl an Fällen bearbeiten. Die mathematische Fragestellung ist so universell, dass unser Ergebnis eine Reihe von Anwendungen findet. In der mathematischen Chemie und Physik gehört es in den Bereich der Kristallisierung und liefert mathematische Erklärungen für das Auftreten bestimmter Strukturen in der Natur. In den Datenwissenschaften und in der Signalverarbeitung zeigt unser Resultat dass es, unter der Verwendung eines bestimmten Standards, eine eindeutige beste Methode für das stabile Übertragen von Daten mittels drahtloser Kommunikation (z.B. Sprachübertragung) gibt. Unsere Arbeit öffnet das Tor für weitere Forschung in diese Richtung in höheren Dimensionen. Das klingt zunächst nach einem abstrakten Problem, ist aber durchaus von Relevanz z.B. bei Enzymcodierung oder in den Datenwissenschaften.