Hochkontrast-Materialien in Plastizität und Magnetismus

Metamaterialien sind künstlich hergestellte Verbundstoffe, deren Mikrostruktur optimiert ist, um strukturelle Leistungen zu verbessern. Das Interesse an Metamaterialien beruht auf ihren ungewöhnlichen Eigenschaften, die als Nebenprodukt ihrer komplexen Mikrostrukturen entstehen. Aufgrund ihrer Bedeutung für industrielle Anwendungen sind Metamaterialien ein zunehmend aktives Forschungsgebiet an der Schnittstelle zwischen Materialwissenschaft, Physik, Ingenieurwissenschaften und Mathematik. Die mathematische Theorie der Homogenisierung ist ein grundlegendes Werkzeug zur Beschreibung struktureller Eigenschaften von Verbundwerkstoffen. Im periodischen Fall wird das Auftreten einer Mikrostruktur modelliert, indem das asymptotische Verhalten einer Folge von Problemen in Abhängigkeit eines kleinen Parameters berücksichtigt wird. Wenn diese Periodizitätsskala gegen Null tendiert, führt die Homogenisierung zu effektiven Grenzmodellen, von denen erwartet wird, dass sie das makroskopische Verhalten des Verbundmaterials erfassen. Ziel des Projekts ist es, die Homogenisierungsanalyse des effektiven Verhaltens einer speziellen Klasse von Metamaterialien zu entwickeln, d.h. solchen, die eine periodisch starke Differenz (Hochkontrast) zwischen den Materialeigenschaften der Komponenten aufweisen. Das Projekt verfolgt drei Ziele: Zunächst wollen wir die Theorie der periodischen Homogenisierung im Kontext der A-Quasikonvexität weiterentwickeln und Hochkontrast-Materialien in diesem Rahmen charakterisieren. Unser zweites und drittes Ziel ist es, die Analyse von Hochkontrast- Homogenisierungsproblemen in den Bereichen Elastoplastizität bzw. Magnetoelastizität zu entwickeln. Insbesondere werden wir das Zusammenspiel von quasistatischer Evolution und Mikrostrukturbildung aufgrund der Hochkontrast-Konformation untersuchen. Unter dem Gesichtspunkt der Modellierung besteht der innovative Charakter des Projekts darin, ein tieferes Verständnis von Hochkontrast-Problemen im Zusammenhang mit inelastischen Phänomenen und mit den Multiphysik-Einstellungen zu erreichen. Dies kann potentiell zu starke Auswirkungen auf Anwendungen führen, insbesondere in Bezug auf elastische Tarnung und die Modellierung fortgeschrittener Sensoren und Aktuatoren. Aus theoretischer Sicht sind die mathematische Modellierung von inelastischen Phänomenen, das Verständnis des Zusammenspiels von Mikrostrukturbildung und quasistatischer Evolution sowie die Analyse restringierter Homogenisierungsprobleme derzeit sehr aktive Forschungsgebiete der Mathematik. In diesen Aspekten wird das Vorhaben zu aktuellen mathematischen Entwicklungen für Evolutionsprobleme mit Mikrostrukturen und für A-Quasikonvexitätstechniken beitragen.

Metamaterialien sind künstlich hergestellte Verbundwerkstoffe, deren Mikrostruktur optimiert wird, um die strukturellen Leistungen zu verbessern. Das Interesse an Metamaterialien ist auf ihre ungewöhnlichen Eigenschaften zurückzuführen, die sich als Nebenprodukt ihrer komplexen Mikrostrukturen ergeben. Aufgrund ihrer Bedeutung für industrielle Anwendungen sind Metamaterialien ein zunehmend aktives Forschungsgebiet an der Schnittstelle zwischen Materialwissenschaft, Physik, Ingenieurwesen und Mathematik. Ziel des Projektes war, eine Mehrskalen-Homogenisierungsanalyse des effektiven Verhaltens einer speziellen Klasse von Metamaterialien zu entwickeln, nämlich jener, die eine periodische starke Differenz (hoher Kontrast) zwischen den Materialeigenschaften der Komponenten aufweisen. Eines der wichtigsten Ergebnisse des Projekts ist die Erstellung einer mathematisch rigorosen Studie über die Entstehung chiraler Strukturen (magnetische Skyrmionen) in magnetischen und magnetoelastischen Materialien. Darüber hinaus haben wir einen sehr allgemeinen Rahmen entwickelt, der auf der mathematischen Theorie der A-Quasikonvexität basiert, um kontrastreiche Homogenisierungsprobleme zu behandeln, die durch eine partielle Differentialgleichung ausgedrückte Beschränkungen beinhalten. Schließlich haben wir eine effektive Theorie für zusammengesetzte Metamaterialien entwickelt, die möglicherweise große elastoplastische Verformungen aufweisen.