Nichtlineare Schrödinger- und Quanten-Bolzmanngleichungen

Dieses Projekt auf dem Gebiet der Angewandten Mathematik beschäftigt sich mit Problemen der mathematischen Physik, welche aus Verallgemeinerung und Synthese der fundamentalen Gleichungen der großen österreichischen Wissenschafter Ludwig Boltzmann und Erwin Schrödinger entstehen. Nichtlineare Schrödingergleichungen tauchen z.B. in der Modellierung von Elektronen in modernen, ultraintegrierten Halbleiterbauteilen und in der Laser Optik auf. Quanten Boltzmann Gleichungen sind - in Analogie zur "klassischen Boltzmanngleichung" - kinetische Gleichungen, die einen "Kollisionsterm" enthalten, welcher (in dissipativer Weise) die Wechselwirkung von Quantenteilchen in Analogie zu Stößen von klassischen Gasteilchen beschreibt. Ein Schwerpunkt des START- Projektes ist die asymptotische Analyse von quantenmechanischen Modellen, die Verallgemeinerungen der üblichen Schrödingergleichung sind. Das Interesse gilt der rigorosen mathematischen Analyse des Überganges von einem Modell in einer Hierarchie der Genauigkeit zu einem anderen, wenn ein physikalischer Parameter gegen Null oder Unendlich strebt. Insbesondere der Grenzwert von Quantenmechanik zur klassischen Mechanik bei verschwindender Planck Konstante, der Grenzwert von relativistischer zu nichtrelativistischer Quantenmechanik für unendliche Lichtgeschwindigkeit und der Grenzwert von einer nichtlokalen zu einer lokalen Austauschwechselwirkung für große Teilchendichten werden mathematisch rigoros untersucht. Ein wichtiges, von Norbert Mauser wesentlich mitentwickeltes Werkzeug ist die Verwendung von Wignertransformationen für allgemeine Homogenisierungs-probleme, wo eine Skala (von Oszillationen) ausgezeichnet ist. Diese "Phasenraum- formulierung der Quantenmechanik" ist auch der Schlüssel zur Verbindung von Schrödinger- und Boltzmanngleichung.

Dieses Projekt auf dem Gebiet der Angewandten Mathematik beschäftigt sich mit Problemen der mathematischen Physik, welche aus Verallgemeinerung und Synthese der fundamentalen Gleichungen der großen österreichischen Wissenschafter Ludwig Boltzmann und Erwin Schrödinger entstehen. Nichtlineare Schrödingergleichungen tauchen z.B. in der Modellierung von Elektronen in modernen, ultraintegrierten Halbleiterbauteilen und in der Laser Optik auf. Quanten Boltzmann Gleichungen sind - in Analogie zur "klassischen Boltzmanngleichung" - kinetische Gleichungen, die einen "Kollisionsterm" enthalten, welcher (in dissipativer Weise) die Wechselwirkung von Quantenteilchen in Analogie zu Stößen von klassischen Gasteilchen beschreibt. Ein Schwerpunkt des START- Projektes ist die asymptotische Analyse von quantenmechanischen Modellen, die Verallgemeinerungen der üblichen Schrödingergleichung sind. Das Interesse gilt der rigorosen mathematischen Analyse des Überganges von einem Modell in einer Hierarchie der Genauigkeit zu einem anderen, wenn ein physikalischer Parameter gegen Null oder Unendlich strebt. Insbesondere der Grenzwert von Quantenmechanik zur klassischen Mechanik bei verschwindender Planck Konstante, der Grenzwert von relativistischer zu nichtrelativistischer Quantenmechanik für unendliche Lichtgeschwindigkeit und der Grenzwert von einer nichtlokalen zu einer lokalen Austauschwechselwirkung für große Teilchendichten werden mathematisch rigoros untersucht. Ein wichtiges, von Norbert Mauser wesentlich mitentwickeltes Werkzeug ist die Verwendung von Wignertransformationen für allgemeine Homogenisierungs-probleme, wo eine Skala (von Oszillationen) ausgezeichnet ist. Diese "Phasenraum- formulierung der Quantenmechanik" ist auch der Schlüssel zur Verbindung von Schrödinger- und Boltzmanngleichung.