Algebraische, analytische, dynamische Eigenschaften Gruppen

Das Projekt liegt im Bereich der theoretischen Mathematik, und versucht, unser Verständnis der Landschaft unendlicher Gruppen zu verbessern. In der Mathematik erfasst der Begriff einer Gruppe eine Abstraktion von Symmetrien eines physischen Objekts oder eines theoretischen Raums. Ein Beispiel für eine Gruppe ist die Menge der Symmetrien des dreidimensionalen Raums, den wir bewohnen: Dies sind die Symmetrien, die wir durch das Ausführen von Zusammensetzun- gen und Umkehrungen von Verschiebungen, Spiegelungen und Drehungen erhalten. Mit Zusam- mensetzung meinen wir die sukzessive Anwendung dieser Symmetrien, eine nach der anderen, um eine neue Symmetrie zu erhalten. Mit Umkehrung meinen wir eine Symmetrie, die eine gege- bene Symmetrie rückgänging macht oder aufhebt. All dies lässt sich bequem in der Sprache der Algebra erfassen: mittels einer Gruppe. Gruppentheorie ist also die Studie von Symmetrien von Objekten und abstrakten geometrischen Räumen. Dies ist ein zentrales Teilgebiet der modernen Mathematik und hat komplizierte Verbin- dungen mit anderen Teilgebieten wie der Topologie, der Geometrie und der modernen Algebra. Die Landschaft der unendlichen Gruppen ist riesig und zu groß, um sie vollständig zu verstehen. Ein Großteil der modernen Gruppentheorie versucht, dieses Problem anzugehen, indem sie be- stimmte natürlich entstehende Klassen von Gruppen systematisch untersucht. Sie versucht be- stimmte Eigenschaften und Phänomene zu verstehen, die diese Klassen aufweisen. Einige dieser Eigenschaften sind fundamental und entstehen auf natürliche Weise, wie zum Beispiel Endlichkeit der Erzeugung. Andererseits untersuchen wir auch kontraintuitive Phänomene wie das Banach- Tarski-Paradox. Ein Hauptziel dieses Projekts ist es, bestimmte Klassen von Gruppen zu untersuchen, die als Ho- möomorphismen von Räumen wie dem Kreis und der reellen Linie entstehen. Ein Homöomorphis- mus ist eine Karte von einem Raum auf sich selbst, die, grob gesagt, die topologischen Eigen- schaften des Raums erhält. Ein Beispiel für einen Kreis-Homöomorphismus ist eine Drehung. Fa- milien von Gruppen, die als Kompositionen solcher Karten entstehen, erfüllen überraschende Ei- genschaften. Einerseits zielt das Projekt darauf ab, zu verstehen, welche Eigenschaften von be- reits bekannten Beispielen erfüllt werden, andererseits versucht es neue Beispiele zu konstruieren. Ein weiteres Ziel des Projekts ist es, mehrere miteinander verbundene, wohlbekannte offene Fra- gen der Gruppentheorie zu untersuchen, die die algebraische Struktur der Gruppe mit dem assozi- ierten geometrischen Raum in Beziehung setzen. Viele dieser Fragen sind seit mehreren Jahr- zehnten unbeantwortet. Das Projekt versucht unser Verständnis dieser Fragen durch die Entwick- lung neuer Techniken und Beispiele zu verbessern.