Modelltheorie bewerteter Differentialkörper

Differentialgleichungen, die eine Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Änderungsrate ausdrücken, werden zum Verständnis vieler Phänomene in Wissenschaft und Technik verwendet. Häufig, beispielsweise bei der Bevölkerungsmodellierung, sind wir am letztendlichen Verhalten dieser Funktionen interessiert: Stabilisieren sie sich oder tendieren sie nach Unendlich? Wie schnell wachsen sie? Bewertete Differentialkörper sind mathematische Strukturen, die diese Fragen und mögliche Antworten abstrakt formalisieren. Dieses Projekt wird bewertete Differentialkörper aus der Perspektive der Modelltheorie untersuchen, einem Zweig der mathematischen Logik, der die Untersuchung von Eigenschaften mathematischer Strukturen umfasst, die in formalen Sprachen ausgedrückt werden können, und so wiederum neue Erkenntnisse über diese Strukturen und ihre Komplexität zu gewinnen. In den letzten Jahren haben die Ideen und Werkzeuge der Modelltheorie fruchtbare Anwendungen in anderen Bereichen der Mathematik gefunden, ein Trend, den dieses Projekt im Bereich der bewerteten Differentialkörper fortsetzen wird. In der Modelltheorie der angeordneten bewerteten Differentialkörper wurden bereits hervorragende Ergebnisse erzielt. Ein Hauptbeispiel ist der angeordnete bewertete Differentialkörper der reellen Transreihen, über dessen algebraische und modelltheoretische Eigenschaften entscheidende Ergebnisse bekannt sind. Reelle Transreihen und ähnliche angeordnete bewertete Differentialkörper weisen kein oszillierendes Verhalten auf. Oszillierende Funktionen, beispielsweise Sinusfunktionen, spielen in der Mathematik und bei der Beschreibung der realen Welt eine wichtige Rolle, von Wasserwellen bis zu Wellenfunktionen in der Quantenphysik. Daher liegt der Schwerpunkt dieses Projekts auf dem bewerteten Differentialkörper der komplexen Transreihen und anderen nicht angeordneten bewerteten Differentialkörpern, bei denen Oszillation zulässig ist. Die Hauptziele sind, ihre algebraischen Eigenschaften zu untersuchen und diese zur Etablierung neuer Ergebnisse in der Modelltheorie bewerteten Differentialkörper zu nutzen.