Quantum Transport Equations

Dieses Projekt befasst sich mit der mathematischen und numerischen Analyse von Quantentransportmodellen (partielle Differentialgleichungen und Integro-Differentialgleichungen), die in der Festkörperphysik und in der Halbleitersimulation bedeutsam sind. Es konzentriert sich auf drei eng zusammenhängende Themen: Quanten-kinetische Modelle (Analysis von stationären Wigner Gleichungen und Entwicklung von effizienten Diskretisierungen); Quanten-relativistische Modelle (Herleitung, Analysis und numerische Implementierung von absorbierenden Randbedingungen für die Dirac Gleichung); Quanten-fluiddynamische Modelle (Analysis von Quanten-Euler und Quanten-Drift-Diffusion Modellen). Der erste Teil dieses Projektes befasst sich mit dem stationären Einström-Randwertproblem für die Wigner Gleichung, einem Modell, das zur Simulation von ballistischem Quantentransport durch Resonanz- Tunnelstrukturen verwendet wird. Wir werden die sachgemäße Gestelltheit dieses Randwertproblems analysieren und effiziente numerische Algorithmen für dessen Lösung entwickeln. Ferner werden wir die Stationärzustände der Wigner-Fokker-Planck Gleichung mit nicht-quadratischem Einschließungspotential untersuchen. Mit Hilfe der Entropiemethode für parabolische Gleichungen werden wir das Langzeitverhalten analysieren, und wir erwarten, unter geeigneten Bedingungen an das Einschließungspotential exponentielle Konvergenz der zeitabhängigen Lösung gegen den Stationärzustand beweisen zu können. Der zweite Teil befasst sich mit der mathematischen Formulierung und der nachfolgenden numerischen Implementierung von offenen (bzw. absorbierenden) Randbedingungen für die zeitabhängige Dirac Gleichung in einer und zwei Ortsdimensionen. Ziel ist es, numerische Simulationen von der Wechselwirkung von relativistischen Teilchen mit Materie durchzuführen. Solche Randbedingungen werden sowohl für ein Crank-Nicholson-Finites- Differenzen-Schema als auch für eine Operator-Splitting/Spektralmethode hergeleitet. In den numerischen Tests wird auch die Streuung von Wellenpaketen an Potentialstufen und kreisförmigen Streupotentialen untersucht. Der dritte Teil handelt von der Analyse von Quanten-fluiddynamischen Modellen, die aus Quanten-kinetischen Modellen hergeleitet werden können. Diese sind ein vernünftiger Kompromiss zwischen physikalischer Genauigkeit und numerischer Durchführbarkeit. Neueste Ergebnisse über makroskopische Approximationen der Wigner-Fokker-Planck und Wigner-BGK Gleichungen sind die Motivation, nun neue isothermische Euler Gleichungen mit zusätzlichen quantenmechanischen und viskosen Korrekturtermen zu untersuchen. Insbesondere werden wir neuartige mathematische Abschätzungen für allgemeine viskose Euler Gleichungen dritter Ordnung herleiten, und wir hoffen, dabei neue Einsichten in die Entropiestruktur der Quanten-Drift-Diffusionsgleichungen zu gewinnen.Ferner werden wir interne und Randgrenzschichten in diesen Modellen untersuchen. Das Projekt läuft drei Jahre und wird in enger Kooperation zwischen den österreichischen und chinesischen Teams durchgeführt. Das österreichische Team beantragt die Förderung von 3 Doktorand(inn)en (zu 75%), Reisekosten nach China und eine Teilförderung eines Projekt-Workshops, der zur Projektmitte an der TU Wien stattfinden wird.

Dieses Projekt befasst sich mit mathematischen und physikalischen Aspekten von Quanten-Transportmodellen, die für Simulationen in der Festkörperphysik und für Halbleiter essentiell sind. Solche Modelle treten konkret in der Laserphysik und bei Bose-Einstein Kondensaten auf (das sind kohärente Aggregatzustände eines Systems von ununterscheidbaren Teilchen bei ultra-tiefen Temperaturen), sowie für die Entwicklung von neuartigen, nano-kleinen Halbleiter-Bauelementen, wie z.B. Dioden und Transistoren. Für viele dieser Modelle bewiesen wir die mathematische Korrektheit, deren Stabilität und Langzeitverhalten (wie z.B. die Rückkehr zum Equilibrium für große Zeiten).Hinsichtlich numerischer Aspekte entwickelten wir neue Diskretisierungsschemata (z.B. für die quanten-relativistische Dirac-Gleichung), die qualitativen Eigenschaften des originalen, kontinuierlichen Modells erhalten (wie z.B. die korrekte Ausbreitungsrichtung von Wellenpaketen). Ferner entwickelten wir neue transparente Randbedingungen für die Dirac und Schrödinger Gleichungen. Das sind mathematische Tricks, mit denen man das Simulationsgebiet (und somit den Berechnungsaufwand) reduzieren kann - ohne aber das Modell zu verändern.