Algebraische Spiegelungen von Geometrie in der Homologie

Nehmen wir an wir haben einen topologischen Raum gegeben, entweder als abstraktes mathematisches Objekt oder als Träger von Daten. Die wichtigsten topologischen Eigenschaften sind seine Löcher: Hindernisse in der Kontraktion von Schlaufen, Blasen, etc. Diese Löcher werden mit Hilfe von Homologiegruppen formalisiert, deren Untersuchung Mathematiker in der algebraischen Topologie und anderen Gebieten mehr als ein Jahrhundert beschäftigt haben. In den letzten zwei Jahrzehnten konnten wir die Entwicklung einer Variante, nämlich der persistenten Homologie beobachten. Mit ihrer Hilfe ist es möglich die Größe von Löchern zu messen und die Homologie von Räumen schon aus endlichen Teilmegen (Daten) herzuleiten. In einem typischen Arbeitsablauf konstruieren wir eine kombinatorische Annäherung in Form des Vietoris-Rips oder des Cech Komplexes einer endlichen Teilmenge. In der Tat ist es möglich die Homologie des ursprünglichen Raumes von der des Komplexes zu berechnen solange wir mit kleinen Parametern und großen Teilmengen arbeiten. Die motivierende Idee für diesen Forschungsvorschlag ist die Beobachtung das die genannten Komplexe mehr Information beinhalten als nur die Lochstruktur des Raumes. Insbesondere können wir nicht-triviale Homolgie bei mittleren Parameterwerten als Widerspiegelungen von geometrischen Aspekten des Raumes interpretieren. Ein Beispiel sind geschlossene geodätische Kurven. Wir beschreiben eine Theorie zum Erkennen von geometrischer Information aus Widerspiegelungen in der persistenten Homologie. Dabei verwenden wir Methoden aus der Kombinatorik und diskreten Geometrie, der Topologie, und der Geometrie. Teile dieser Theorie stellen Verbindungen mit anderen Gebieten der Mathematik her, so wie die Kontraktion in metrischen Graphen, die Längen- und Laplace-Spektren von Mannigfaltigkeiten, und die Existenz von Kohomologierepräsentaten.

In einem metrischen Raum ist die Entfernung zwischen jedem Paar von Punkten eine wohl definierte nicht-negative Zahl, und die Gesamtheit der Entfernungen genügt einigen natürlichen Bedingungen, wie zum Beispiel Symmerie: die Entfernung von A nach B ist dieselbe wie von B nach A. Eine möglicherweise gekrümmte Fläche in der die Entfernungen die Längen der kürzesten Verbindungen messen, ist ein Beispiel. Der Ausgangspunkt dieses Projekts war die Einsicht, daß subtile geometrische Eigenschaften, wie die Länge von lokal kürzesten geschlossenen Kurven, durch die Homologie von Sequenzen unendlicher Komplexe widergespiegelt werden. Als Beispiel erwähnen wir daß Vietoris--Rips Komplexe, die alle Punkte mit Entfernung kleiner or gleich r > 0 miteinander verbinden, eine Füllung der geschlossenen Kurve entwickeln wenn r ein Drittel der Länge der Kurve erreicht. Das Ziel dieses Projekts ist es Licht in diese Verbindung zu bringen und sie näher an Anwendungen zu rücken. Die unendlichen Komplexe können als Grenzwert von endlichen Komplexen verstanden werden, und der Unterschied zwischen ihren Topologien kann als Maß der nicht erfassten Information interpretiert werden. Eine besonders interessante Richtung die diese Theorie näher an die Anwendungen rückt ist die Verallgemeinerung zu quasi-metrischen Räumen, welche die Symmetrie Bedingung verletzen dürfen: die Entfernung von A nach B$ist nicht notwendiger Weise gleich jener von B nach A. Wir untersuchen wie sich diese Verallgemeinerung auf die Homologie der korrespondierenden Komplexe auswirkt, und wie diese Unterschiede in der Praxis ausgenutzt werden können. Eine interessante Anwendung in diesem Zusammenhang ist die Analyse der Mobilität in Österreich während der verschiedenen Phasen der COVID-19 Pandemie.