Zertifizierte Algorithmen zur Bahnplanung von Robotern

Einige aktuelle Durchbrüche in Computeralgebra ermöglichen seit kurzem einen neuen Lösungszugang zu Problemen in der semialgebraischen Geometrie, insbesondere Zusammenhangsabfragen und die Bestimmung der Zusammenhangskomponenten von semialgebraischen Mengen. Solche Fragen treten in der Bewegungsplanung von Robotern auf. In diesem Projekt sind wir speziell interessiert an Pfaden, die kinematische Singularitäten vermeiden. Die existierenden Algorithmen geben keine garantierten Antworten. Die Bahnplanung Probleme werden als optimale Steuerungsprobleme formuliert und numerisch gelöst; dabei wird keine globale Lösung berechnet und kinematische Singularitäten ignoriert. Hier schlagen wir vor, die Probleme aus der Perspektive der Comouteralgebra zu betrachten. Unser Ziel ist, hochleistungsfähiger Computeralgebra-Algorithmen für Robotik und Wegfindungsprobleme zu entwickeln. Ein Teilziel dafür ist es auch, die bestehenden grundlegenden Methoden für Gröbnerbasen und Isolationreeller Nullstellen. Wesentlich ist das Verständnis der topologischen und algebraischen Eigenschaften der Singularitäten der Manipulatoren. Eine wichtige Eigenschaft ist Kuspidalität, d.h. die Existenz eines singulartitätenfreien Pfades zwischen zwei Punkten einer Faser der kinematischen Abbildung eines 6R Manipulatoren (diese werden am häufigsten in industriellen Anwendungen verwendet). In der Sichtweise der algebraischen Geometrie handelt es sich bei den kinematischen Singularitäten um Projektionen von Hyperebenen-Schnitten einer Segre Untervarietät des projektiven Raums. Das Problem kann also algebraisch exakt spezifiziert werden; trotzdem ist die Bestimmung von kuspidalen 6R Manipulatoren derzeit nicht klar. Auch für nicht-kuspidale Manipulatoren will man manchmal Pfade finden, die die Menge der Singularitäten möglichst wenig oft schneidet. Diese Fragen sollen mit speziellen Roadmap- Algorithmen, wie wir sie entwickeln wollen, gelöst werden. Auch die Bestimmung der Zusammenhangskomponenten würde in die Zuständigkeit dieser Roadmap-Algorithmen fallen. Schliesslich wollen wir noch die Selbstbewegungen von n-SPS-Platformen untersuchen. Die Konfigurationsmenge eines parallelen Mechanismus` ist ein topologischer Raum, der das Interesse von Spezialisten der Geometrie, Starrheitstheorie, und Topologie auf sich gezogen hat. Der zweidimensionale Fall ist klassisch: die Topologie des Konfigurationsraums hängt von gewissen Ungleichungen zwischen den Längen der Gliederab (Grashof-Bedingungen). Mit Hilfe der Eliminationstheorie wollen wir Analogie Resultate für den Raum beweisen. Unser Team besteht aus Wissenschaftlern aus Computeralgebra, Robotik, und algebraischer Geometrie.

The main aim of the project was to foster interdisciplinary and international collaboration between mathematicians and roboticists to understand cuspidal manipulators and kinematic singularities of robots. We use computer algebra methods to address technical challenges arising from singularities and cuspidality. Understanding cuspidality is crucial, as few industrial serial manipulators have this property, leading to unexpected behaviours while path-planning. Many roboticist are used to non-cuspidal 6R industrial robots, while generic robots (e.g. designed randomly or by AI) tend to be cuspidal. Simply stated: A robot is cuspidal if it is able to change its joint configuration for the same pose without crossing singularities. In this project we were able to categorize 3R cuspidal robots efficiently and we were able to identify several industrial 6R robots that are cuspidal which were initially not known. Engineers typically avoid singularities due to their potential for causing unexpected robot behaviour. At singular configurations, the robot may suddenly require more force and speed to move. A historical example of overlooked singularities causing difficulties is the inertial measurement unit for gyroscopes and balancing devices in NASA's Apollo mission. The mathematical nature of these robotics questions necessitated tools and techniques in computer algebra and mathematics. For instance, the kinematics singularity space of a robot may consist of many connected components. In typical parallel manipulators, such as those used to move platforms of flight simulators, it is conjectured that the singularity space consists of a single connected component. Understanding the number of these components helps identify singularity-free paths, leading to smoother simulator movements. This is a fundamental problem in real algebraic geometry. In this project, we were able to categorize types of singularities for 3RPR parallel robot and we are able to prove the number of components of the singularities certain 6SPS robots. The project exceeded expectations, with smooth interdisciplinary collaboration. Mathematicians respected the engineers' practical experience and technical expertise, while engineers embraced complex mathematical solutions. This mutual understanding between experts from different fields was crucial to the project's success. Tangible outcomes included: > One habilitation for a senior postdoc > Two completed doctoral studies > Two ongoing doctoral studies The collaboration fostered learning not only across disciplines but also among researchers from different countries, sharing specialized knowledge. This experience demonstrated that international and interdisciplinary collaboration is both feasible and highly beneficial to researchers, paving the way for future advancements in applied mathematics, robotics and related fields.