Die vielen Facetten der Orthomodularität

Auch mehr als 100 Jahre nach ihrer Entstehung sind die Prinzipien, auf denen eine der wichtigsten physikalischen Theorien die Quantenmechanik basiert, nicht leicht nachvollziehbar. Der wohl älteste Ansatz zu einem besseren Verständnis geht auf die beiden Mathematiker Garrett Birkhoff und John von Neumann zurück, deren wegweisende Arbeit The logic of quantum mechanics einen maßgeblichen Einfluss ausgeübt hat. Die Idee war, die innere Struktur der an einem physikalischen System testbaren Eigenschaften mit algebraischen Mitteln zu beschreiben. In diesem Kontext ist der Begriff der Orthomodularität entstanden. Denn die Gesamtheit quantenphysikalischer Eigenschaften eines Systems hat einerseits eine Ordnungsstruktur: Eine Eigenschaft kann stärker als eine andere sein. Andererseits ist die Struktur komplementiert: Jede Eigenschaft ist negierbar. Man wird so zu einer algebraischen Struktur geführt, die man als Orthoverband bezeichnet. Im vorliegenden Fall liegt eine Besonderheit vor; zu je zwei vergleichbaren Eigenschaften gibt es eine dritte, die zur ersten komplementär ist und in Disjunktion mit dieser der zweiten entspricht. Einen solchen Orthoverband nennt man einen orthomodularen Verband. Ziel des Projektes ist es, verschiedene Aspekte der Orthomodularität zu ergründen, eines Begriffes, der bei weitem nicht nur im Bereich der Grundlagen der Quantenmechanik, sondern generell in der Mathematik eine wichtige Rolle spielt. Unsere Gruppe, die aus zwölf Mathematikern und Physikern aus Österreich und Tschechien besteht, plant die Bearbeitung folgender vier Themengebiete. Es geht uns erstens um ein vertieftes Verständnis des erwähnten prototypischen Beispiels eines orthomodularen Verbandes, des Verbandes der abgeschlossenen Unterräume eines komplexen Hilbertraumes. Wir greifen hierfür auf den auf David Foulis zurückgehenden Begriff des Orthogonalitätsraumes zurück. Wir betrachten zweitens orthomodulare Verbände in einem weiteren Kontext und beziehen mehrere weitere mit diesen in engem Zusammenhang stehende Strukturen in die Diskussion mit ein. Wir befassen uns drittens mit dem Zustandsraum orthomodularer Strukturen. Ein Zustand ordnet jedem Element des Orthoverbandes eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zu, ein Analogon zum Zustand eines quantenphysikalischen Systems. Wir betrachten viertens Effektalgebren. Diese stellen eine Verallgemeinerung orthomodularer Verbände dar, die sich vergleichen lässt mit der Verallgemeinerung gewöhnlicher Teilmengen einer Menge auf Fuzzymengen, d.h. auf Mengen mit kontiniuerlichen Zugehörigkeitsgraden.

Auch nach über 100 Jahren seit ihrer Erfindung mag die Quantenmechanik auf ersten Blick kurios erscheinen. Ein möglicher Ansatz, um eine vertiefte Einsicht zu erreichen, konzentriert sich auf das grundlegendste von dieser Theorie verwendete Modell: Ein Hilbertraum ist ein mit einem inneren Produkt ausgestatteter Vektorraum. Die Idee ist, diesen auf eine Struktur einfacher Art zurückzuführen. Fortschritte in dieser Frage zu erzielen zählte zu den Hauptanliegen des Projektes. Ein Hilbertraum lässt sich auf eine bestimmte algebraische Struktur reduzieren, einen sogenannten orthomodularen Verband. Dies gab Anlass, den Begriff der Orthomodularität in den Mittelpunkt der Betrachtungen zu stellen. Es handelt sich eigentlich um einen Kernbegriff der Mathematik, der nämlich ganz allgemein der Beschreibung aller möglichen Faktorisierungen einer Struktur dient. Die Projektarbeit kreiste um eine Vielzahl algebraischer Strukturen in diesem Zusammenhang, von orthomodularen Verbänden über Effektalgebren bis hin zu Quantalen. Was wir insbesondere herausgearbeitet haben, war, dass eine viel weitergehende Reduktion des Hilbertraummodells möglich ist. Das quantenphysikalische Grundmodell lässt sich allein auf den Begriff der Orthogonalität aufbauen. Die (reinen) Zustände eines quantenmechanischen Systems werden von eindimensionalen Unterräumen eines Hilbertraumes modelliert, und dass je zwei solche Unterräume orthogonal sind, bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für den Übergang zwischen den korrespondierenden Zuständen gleich null ist. Die Kollektion aller eindimensionalen Unterräume, ausgestattet mit der Orthogonalitätsrelation, stellt eine sogenannte Orthomenge dar. Bemerkenswerterweise bestimmt diese allein bereits die Struktur des Hilbertraumes im Wesentlichen eindeutig. Auf die Frage, welche charakteristische Eigenschaft die aus einem Raum mit einem inneren Produkt hervorgehende Orthomenge hat, haben wir eine erstaunlich einfache Antwort geben können; die sogenannten linearen Orthomengen sind durch eine simple kombinatorische Eigenschaft definiert. Eine weitere Herausforderung bestand darin, eine auf Orthomengen basierende Kategorie zu definieren, d.h. in geeigneter Weise strukturerhaltende Abbildungen zwischen Orthomengen zu erklären. Die wesentliche Erfordernis dabei ist, eine Analogie zu linearen Räumen herstellen zu können. Nach längeren mäßig erfolgreichen Versuchen sind wir zu dem Schluss gekommen, dass wiederum eine ganz einfache Eigenschaft das Gewünschte leistet, die sogenannte Adjungierbarkeit von Abbildungen zwischen Orthomengen. Dass die Inklusionsabbildung von Unterräumen in Orthomengen adjungierbar ist, hat sich dabei als alternatives Kriterium für die Darstellbarkeit mittels linearer Räume ergeben. Die Ergebnisse sind insofern bemerkenswert, als Orthomengen eine nur minimale Struktur bieten, die lediglich vorgibt, dass gewisse Paare von Elementen zueinander in Relation stehen. Wie sich gezeigt hat, ermöglicht diese allein, die in der Mathematik allgegenwärtigen linearen Strukturen aus neuer Perspektive betrachten zu können.