Nichtlineare Wellengleichungen und Krein–de Branges-Theorie

Nichtlineare Wellengleichungen und Kreinde Branges-Theorie PR Abstract Der Hauptfokus unseres Projekts liegt auf den wichtigsten 1+1 dimensionalen vollständig integrablen Wellengleichungen (die Kortewegde Vries-Gleichung, die nichtlineare Schrödingergleichung und die CamassaHolm-Gleichung) und deren zugehörige Isospektralprobleme (die 1-D Schrödingergleichung, 1-D Diracgleichung beziehungsweise die Saitengleichung). Die inverse Streutransformation (IST) ist ein mächtiges Hilfsmittel um diese Gleichungen zu behandeln (die IST erlaubt es explizite Lösungen zu konstruieren und eine präzise Analyse des Anfangswertproblems). Nichtsdestotrotz ist ihr Anwendungsbereich oft eingeschränkt. In der Tat erklären sich diese Einschränkungen aus den Bedingungen an die Lösbarkeit des zugehörigen inversen Spektral-/Streuproblems. Unser Ziel ist zweifach: Einerseits wollen wir Fortschritte beim Verständnis von eindimensionalen Spektral-/Streuproblemen mit schwach regulären Daten erreichen. Andererseits wollen wir diese Ergebnisse auf die IST der zugehörigen nichtlinearen Probleme mit schwach regulären Anfangsdaten anwenden.

Eines der wesentlichen Ergebnisse des Projekts sind Szegö-Typ-Sätze für verallge-meinerte indefiniter Zeichenfolgen (Invent. Math. 238 (2024)). Genauer gesagt liefern wir für mehrere Klassen von Koeffizienten, die als Hilbert-Schmidt-Störungen von Modellproblemen aufge- fasst werden können, eine vollständige Charakterisierung der zugehörigen Menge spektraler Maße. In seinem berühmten Buch über den Szegö-Satz bezeichnete Barry Simon Ergebnisse dieser Art als spectral gems. Einerseits zeigt dieser Fortschritt, dass die Theorie der verallgemeinerten indefiniten Zeichenfolgen - das Objekt, das wir in unserer früheren Arbeit mit J. Eckhardt eingeführt haben - inzwischen aüßerst weit entwickelt ist. Andererseits ist eine gut entwickelte direkte und inverse Spektraltheorie eines Lax-Operatoren ein unverzichtbares Werkzeug bei der Untersuchung eines zugehörigen nichtlin- earen vollst andig integrierbaren Systems (in unserem Fall der Camassa-Holm-Gleichung). Insbeson- dere wurden diese Resultate in unserer Arbeit genutzt, um den konservativen Camassa-Holm-Fluss unter Annahmen an die Anfangsdaten zu untersuchen, die zuvor nicht zugänglich waren. Darüber hinaus waren wir mithilfe der Spektraltheorie verallgemeinerter indefiniter Zeichen- folgen in der Lage, eine neue Familie von Erhaltungssätzen herzuleiten, die sich nicht aus der entsprechenden bi-Hamiltonschen Struktur gewinnen lassen, den konservativen Camassa-Holm-Fluss mit stufenfrmigen Anfangsdaten zu integrieren, mehrere interessante Klassen unendlicher Peakon-Lösungen zu konstruieren und zu untersuchen, das heißt Lösungen, die als Überlagerung einer unendlichen Anzahl gespitzter Solitonen aufgebaut sind.