Diskrete geometrische Strukturen motiviert durch Anwendungen

Zeitgenössische Architektur von großen Bauwerken macht es notwendig jene Flächen, die als Dachflächen, Wände oder Facaden gebaut werden sollen, in kleinere Segmente zu zerlegen, den sogenannten Panelen. Die daher aus der Anwendung kommende höchst relevante Fragestellung, wie denn eine Fläche in geeigneter Weise zerlegt werden kann impliziert eine Fülle von spannenden Fragestellungen für die Grundlagenforschung im Gebiet der Geometrie und insbesondere der diskreten Differentialgeometrie. Während die Bauindustrie, Architekten und Ingenieure hauptsächlich an Designaspekten, Baubarkeit und Statik interessiert sind, werden wir in diesem Zusammenhang stehende mathematische Fragestellungen untersuchen, die durch Anwendungen aus der Architektur motiviert sind. Unser Forschungsvorhaben wird in enger Zusammenarbeit der TU Berlin und der TU Wien durchgeführt und zwar im Rahmen eines SFB Transregio Diskretisierung in Geometrie und Dynamik. Ein Hauptaugenmerk richtet sich auf die Diskretisierung verschiedener Parametrisierungen von Flächen. Da interessieren uns etwa Kurven mit konstanten Normalkrümmungen als ein Spezialfall von einer Parametrisierung, die auf gewisse Weise diagonal zu den klassischen Parametrisierungen verläuft. Ein wichtiges Grundprinzip, hier wie auch in den folgenden Themen ist, dass wir nicht etwa charakterisierende Differentialgleichungen diskretisieren, sondern die Methoden und damit die Theorie, in die die Themen eingebettet sind. Desweiteren werden wir spezielle Kreismuster analysieren. Diese haben sich bereits in vielen herausragenden wissenschaftlichen Arbeiten als besonders relevante Objekte der diskreten Differentialgeometrie herausgestellt. Vorallem werden wir eine Verallgemeinerung auf Kreisringmuster studieren, die interssante Zusammenhänge mit integrablen Systemen und der hyperbolischen Geometrie erwarten lassen. Ein weiteres Thema, das direkt am Panelisierungsproblem hängt, ist den Fokus auf die Facetten eines diskretisierten Netzes zu richten. Viele Diskretisierungen von Netzen in den Kugelgeometrien, ignorieren die Geometrie der Facetten und fassen Netze lediglich als Knotenmenge auf. Wir werden die Facetten selbst auch aus Kugelgeometrischen Objekten aufbauen und damit neue Methoden entwickeln. Letztlich ist es auch unser Anliegen, lineare Unterteilungsalgorithmen, die in der Computergraphik und der geometrischen Modellierung seit Jahrzehnten angewendet werden, in die nichtlineare Welt der Kugelgeometrien zu übertragen. Erste Ergebnisse in diese Richtung scheinen vielversprechende Ansätze für diese nichtlineare Problemstellung zu liefern.