Stabile Fourier Phasen Rekonstruktion

Ein komplexwertiges Signal kann aufgefasst werden als Kombination von Intensitats- und Phaseninformation. Prinzipiell muss sowohl Intensitat als auch Phase bekannt sein, um das Signal selbst zu kennen. In einer Vielzahl an Anwendungen kann jedoch nur die Intensitat, nicht aber die Phase gemessen werden. Die Aufgabe die Phaseninformation, und damit das Signal selbst zu rekonstruieren wird als Phase Retrieval bezeichnet. Ein konkretes und hochrelevantes Beispiel wo dieses Problem auftaucht ist die sogenannte Beugungsbildgebung. Hier wird ein nanometer großes Ob- jekt mit Rontgenstrahlung beleuchtet. Typischerweise kann jedoch nur die Intensitat der gebeugten Strahlung beobachtet werden. Phase retrieval Probleme sind bekanntermaßen schwierig zu analysieren. Im unendlich-dimensionalen Fall sind diese Probleme inherent instabil, das heißt sehr unterschiedliche Signale konnen sehr ahnliche Intensitats informa- tion aufweisen; damit sind solche Fragestellungen zunachst schlecht gestellt. Im Zuge dieses Projekts werden wir eine umfassende quantitative Anal- yse von verschiedenen Phase Retrieval Problemen vornehmen mit dem Ziel wesentliche Bestandteile ausfindig zu machen, die fur stabile Phasenrekon- struktion entscheidend sind. Ein weiterer Fokus liegt auf der Entwicklung von Algorithmen zur numerischen Losung solcher Probleme. 1

In zahlreichen physikalischen Anwendungen ist man mit dem Problem konfrontiert, dass man von eigentlich komplexwertigen Messungen nur die enstprechenden Beträge feststellen kann, nicht aber die Phasen. In der Regel beinhaltet die Phase jedoch essentielle Information und kann nicht einfach vernachlässigt werden. Es gilt dann also die nicht vorhandene Phaseninformation aus den verfügbaren phasenlosen Messungen zurückzugewinnen. Diese Art von Problemstellung wird unter dem Begriff Phase Retrieval zusammengefasst. Im Zuge dieses Projekts wurden verschiedene Instanzen von Phase Retrieval eingehend untersucht. Die wichtigsten Resultate werden im Folgenden angeführt und beschrieben. Eine zentrale Frage behandelt das phasenlose Abtasten im sogenannten Fock Raum. Der Fock Raum besteht aus holomorphen Funktionen in der komplexen Ebene, welche einer entsprechenden Wachstumsbedingung unterliegen. Angenommen von solch einer Funktion kann man nur die Beträge der Auswertung auf einer gewissen diskreten Punktmenge in der Ebene messen. Wie muss diese Punktmenge gewählt werden um zu garantieren, dass jede Funktion durch diese Messungen eindeutig festgelegt wird? Hier gelang es uns zu zeigen, dass Punktmengen mit dieser Eindeutigkeitseigenschaft etwa aus zufälligen Störungen von geeigneter Gittermengen gewonnen werden können. Diese Konstruktion ist die erste und bislang einzige, welche Eindeutigkeitsmengen von endlicher Dichte liefert. Ein weiteres Hauptaugenmerk bestand in der Frage, wie die Phasenrückgewinnung im Fock Raum praktisch bewerkstelligt werden kann. Die Rekunstruktionsfrage ist von Natur aus instabil. Das bedeutet, dass unter Umständen sehr unterschiedlieche Ausgangsfunktion zu sehr ähnlichen Messungen führen können. In der Praxis muss man davon ausgehen, dass Messungen fehlerbehaftet sind. Wenn es sich bei der zu Grunde liegenden Funktion um eine Instabilität handelt, ist die Rekonstruktionsfrage also schlecht gestellt, da die Lösung de facto nicht eindeutig ist. Hier haben wir einen Algorithmus entworfen, welcher (eventuell störungsbehaftete) Messwerte als Eingangsdaten übernimmt und eine Schätzung der zu Grunde liegenden Funktion (mit Phase!) zurückgibt. Dieser Algorithmus wird begleitet von mathematischen Resultaten, welche garantieren, dass das Verfahren akkurate Ergebnisse liefert, sofern die Störungen klein sind und es sich nicht um eine Instabilität handelt. Der Aspekt der Stabilität stand auch im Zentrum eines weiteren Teilprojekts. Allgemeine Resultate besagen, dass man Instabilitäten für Phase Retrieval dadurch erzeugen kann, dass man Funktionen konstruiert, welche aus zwei oder mehreren Komponenten bestehen. Es wird vermutet, dass auch die Umkehrung dieser Aussage zutrifft: das heißt, dass jede Instabilität von dieser Bauart sein muss. Bislang konnte diese Vermutung nur für einen einzigen Fall nachgewiesen werden, und zwar für den Fock Raum. Im Zuge dieses Projekts gelang es die Vermutung für eine Reihe weiterer Fälle zu beweisen. Insbesondere bedeutet das, dass die Charakterisierung von Instabilitäten nicht darauf beruht, dass die zugrunde liegenden Funktionen holomorph sind, sondern eine viel allgemeinere Tatsache ist.