Topics in Enumerative Group Theory

Dies ist ein Projekt an den Schnittstellen von Kombinatorik und Gruppentheorie. Es besteht aus zwei Teilen: I. Zahlentheoretische Aspekte von Heckegruppen und ihren Lifts (mit möglicher Erweiterung auf andere virtuell freie Gruppen) und II. Nichtkreuzende Partitionen für Spiegelungsgruppen. Der erste Teil behandelt unendliche Gruppen (nämlich Heckegruppen und ihre Lifts, und gegebenenfalls andere endlich erzeugte virtuell freie Gruppen), der zweite Teil behandelt endliche Gruppen (wohlerzeugte komplexe Spiegelungsgruppen). Während keine direkte Verbindung zwischen diesen beiden Familien von Gruppen besteht, gibt es jedoch sehr wohl intime Zusammenhänge, die diese beiden Projektteile miteinander verbinden. Zum einen befassen sich beide Projektteile mit wichtigen Abzählfragen in der jeweiligen Familie von Gruppen. Bedingt durch die Natur der zu behandelnden Probleme werden unsere Untersuchungen zum anderen nach sehr ähnlichen Techniken verlangen: eine strukturelle Analyse der kombinatorischen Eigenschaften dieser Gruppen führt auf Objekte wie etwa Nebenklassendiagramme, Karten, und andere graphenartige Objekte. Um die Abzählung dieser Objekte zu bewerkstelligen, wird es des weiteren notwendig sein, Rekursionsmethoden und Erzeugende Funktionen- Techniken, Lagrangeinversion und andere Hilfsmittel zum Lösen von Systemen von Funktionalgleichungen, Möbiusinversion, usw. anzuwenden. Zusätzlich verlangt es die Komplexität dieser Probleme, die entsprechenden Untersuchungen mit Computeralgebraprogrammen zu begleiten respektive zu komplementieren. Die Lösung der Probleme, mit denen wir uns befassen wollen, hängt somit wesentlich von einem interdisziplinären Zugang ab. Der Antragsteller, Thomas W. Müller (Queen Mary, University of London), und der Mitantragsteller, Christian Krattenthaler (Universität Wien), bringen die für die Lösung der vorgeschlagenen Probleme notwendige komplementäre Expertise mit: ein kombinatorischer Gruppentheoretiker mit besonderen Kenntnissen analytischer, kombinatorischer und zahlentheoretischer Aspekte von Gruppen, und ein Abzählkombinatoriker mit einem breiten Repertoire kombinatorischer und analytischer Techniken, einschließlich der Anwendung von Computeralgebra. Die Stärke dieser Zusammenarbeit über Abzählfragen in der Gruppen- und Semigruppentheorie haben die Antragsteller bereits in vorangegangenen Arbeiten demonstriert, siehe [26,27,28] in der Literaturliste des Antrages. Ein Zweijahresaufenthalt des Antragstellers als Lise Meitner-Stipendiat an der Universität Wien würde für diese Zusammenarbeit außerordentlich stimulierend wirken und würde außerdem die Gelegenheit bieten, die Beziehungen zwischen dem Antragsteller und den Kombinatorikgruppen in Wien zu vertiefen.