Kurven und Flächen mit Pythagoräischen Hodographen

Die Verfahren des Computer Aided Geometrie Design (CAGD) bilden die mathematische Grundlage der CAD (Computer Aided Design) und CAM (Computer Aided Manufacturing) Technologie, die inzwischen in der gesamten Industrie ihren Einsatz findet. Als ein relativ neues Gebiet ist CAGD durch eine dynamische Entwicklung gekennzeichnet, die durch die Zusammenarbeit und die Nutzung von Ideen aus verschiedenen Gebieten geprägt ist. Die zukünftige Entwicklung der CAD/CAM-Technologie wird von der Verwendung intelligenterer Darstellungen für Kurven und Flächen profitieren. In dem vorgeschlagenen Projekt soll eine davon, die Klasse der sog. PH- (Pythagorean hodograph) Kurven und -Flächen, genauer untersucht werden. Diese Art der Geometrie-Darstellung stellt besonders einfache Lösungen für zahlreiche Probleme bereit, die im Zusammenhang mit CNC-Steuerungen für Werkzeugmaschinen entstehen. Im ersten Teil des geplanten Projektes sollen - ausgehend von bekannten Resultaten - die Techniken zur Erzeugung klassischer PH-Kurven weiterentwickelt und vervollständigt werden. Dabei ist geplant, neue Konstruktionen für PH-Spline-Kurven zu entwickeln und ihr Verhalten (beispielsweise die Approximationsordnung) genauer zu untersuchen. Anschließend sollen PHKurven in drei- und vierdimensionalen Minkowski-Räumen studiert werden. Diese Kurven sind aufgrund ihres Zusammenhangs zur sog. `medial axis transform` für Anwendungen interessant, jedoch stehen bisher so gut wie keine einschlägigen Konstruktionsverfahren zur Verfügung. Im geplanten Projekt sollen auch zwei vollkommen neuartige Zugänge untersucht werden. Einerseits handelt es sich dabei um die Untersuchung von implizit definierten Kurven und -Flächen, die analog zur Klasse der PH-Kurven sind. Andererseits ist geplant, sog. `Fast-PH` Kurven und Flächen zu diskutieren. Das Thema dieses Projektes ist nicht nur für Anwendungen interessant, sondern bietet auch zahlreiche reizvolle theoretische Fragestellungen. Es steht in Beziehung zu zahlreichen Gebieten der Mathematik und Informatik, wie Differentialgeometrie, algebraischer Geometrie, Numerische Mathematik, Approximationstheorie und Clifford- Algebra. Zur erfolgreichen Bearbeitung des Projekts werden wir Verfahren und Resultate aus all diesen Gebieten sowie der Computer-Algebra benötigen.