SSC und SQP für gemischt beschränkte Optimalsteuerprobleme

Viele technische Prozesse werden durch Systeme partieller Differentialgleichungen beschrieben. Die Optimierung solcher Prozesse oder die Identifikation von Materialparametern führt auf Optimalsteuerprobleme bei partiellen Differentialgleichungen. Typischerweise müssen einige der beteiligten Steuerungen und Prozessgrößen in vorgegebenen Zulässigkeitsbereichen liegen. Wir interessieren uns in diesem Projekt für die optimale Steuerung von elliptischen und parabolischen Differentialgleichungen mit punktweisen Ungleichungsnebenbedingungen in Ort und Zeit. Praktische Anwendungsprobleme enthalten typischerweise nichtlineare Funktionen. Notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen enthalten dann erste und zweite Ableitungen dieser Nichtlinearitäten. Hinreichende Optimalitätsbedingungen können die Stabilität der Lösung des Optimalsteuerproblems bei Störungen sichern. Darüber hinaus spielen hinreichende Optimalitätsbedingungen eine Schlüsselrolle bei der Konvergenz schneller und effizienter numerischer Verfahren. Bis jetzt sind hinreichende Optimalitätsbedingungen, Stabilitätsresultate und Konvergentheorie schneller numerischer Methoden nur bekannt, wenn die punktweisen Ungleichungsnebenbedingungen lediglich für die Steuerungen gefordert werden. Anwendungsprobleme enthalten aber typischerweise sowohl Beschränkungen für die Steuerungen als auch für Prozessgrößen (Zustände). Punktweise Nebenbedingungen an Prozessgrößen alleine führen zu mathematischen Problemen, deren Lösung im Moment nicht abzusehen ist. In diesem Projekt werden wir hinreichende Optimalitätsbedingungen herleiten, Stabilitätsresultate und die Konvergenz des SQP-Verfahrens für Optimalsteuerprobleme mit gemischten Nebenbedingungen beweisen: Solche Probleme sind dadurch charakterisiert, dass in den Ungleichungsnebenbedingungen gleichzeitig Steuerungen und Prozessgrößen auftreten. Die in diesem Projekt entwickelte Theorie garantiert zuverlässige numerische Resultate für beliebig feine Diskretisierungen der beteiligten partiellen Differentialgleichungen.

Viele technische Prozesse werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. The Optimierung solcher Prozesse und die Identifizierung von Materialparametern führt auf Aufgaben der optimalen Steuerung. Typischerweise müssen einige der beteiligten Steuerungen und Prozessgrößen in vorgegebenen Zulässigkeitsbereichen liegen, was durch punktweise Ungleichungsbeschränkungen sichergestellt wird. Im Rahmen dieses Projekts haben wir die schnelle lokale Konvergenz eines weit verbreiteten und leistungsfähigen Optimierungsverfahrens (der Methode der sequentiellen quadratischen Programmierung, SQP-Methode) für Optimalsteueraufgaben mit nichtlinearen gemischten Kontroll- und Zustandsbeschränkungen bewiesen. Der Beweis erforderte einige vorbereitende Schritte, die auch für sich genommen von Interesse sind. Darunter fallen notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen, die Regularität Lagrangescher Multiplikatoren sowie die Lipschitz-Stabilität optimaler Lösungen in Abhängigkeit von Störungen. Die Arbeit an diesem Projekt hat auch die Weiterentwicklung von Resultaten im Umfeld gefördert. So wurde die Untersuchung der primal-dualen Aktive-Mengen-Strategie auf Aufgaben mit gemischten Beschränkungen ausgedehnt. Somit ist die effiziente Lösung der während der SQP-Iteration entstehenden Teilprobleme gesichert. Zweitens konnte die differenzierbare Abhängigkeit optimaler Lösungen von Störungen bewiesen werden, und es wurde eine effektive Update-Strategie für gestörte Aufgaben entwickelt.