Approximation von Optimalsteuerproblemen bei part. DGI.

Sehr viele technologische Prozesse werden durch Systeme partieller Differentialgleichungen beschrieben. Die Optimierung solcher Prozesse oder auch die Identifikation von Prozessparametern führt auf Optimalsteuerprobleme bei partiellen Differentialgleichungen. Häufig werden solche Aufgaben durch zusätzliche Beschränkungen charakterisiert, d.h. die Prozessgrößen müssen zusätzliche Gleichungen und Ungleichungen erfüllen. Inhalt dieses Projektes sind linear-quadratische Optimalsteuerprobleme: Das Optimierungsziel ist eine quadratische Funktion der Prozessgrößen. Dagegen treten diese Größen in den Gleichungen und Ungleichungen nur linear auf. In diesem Projekt werden speziell elliptische und parabolische partielle Differentialgleichungen untersucht. Obwohl diese Klasse von Aufgaben eine relativ einfache Struktur besitzt, is es trotzdem nicht möglich, eine Lösung analytisch zu bestimmen. Daher ist es notwendig, solche Probleme in geeigneter Weise zu diskretisieren. Die Approximationseigenschaften der Lösungen der diskretisierten Aufgaben gegenüber der Lösung des kontinuierlichen Problems stellen einen wesentlichen Schwerpunkt des Projektes dar. Obgleich es in der letzten Zeit erhebliche Fortschritte bei Aufgaben mit Steuerbeschränkungen gegeben hat, befindet sich die Theorie für Aufgaben mit Zustandsbeschränkungen noch ganz am Anfang. Das Projekt soll dazu beitrage, die gewaltige Kluft in der theoretischen Aufarbeitung zwi-schen dem gut untersuchten steuerbeschränkten Fall und dem weiten unerforschten Feld der zu-standsbeschränkten Probleme zu verringern. Dabei sollen Fehlerabschätzungen hergeleitet werden, die es erlauben eine kontinuierliche Optimalsteueraufgabe mit vorgegebener Genauigkeit zu lösen. Darüber hinaus sollen die Ergebnisse benutzt werden, um geeignete Abbruchkriterien für Iterationsverfahren zu entwickeln. Auf deren Grundlage kann in verlässlicher Weise die Rechenzeit für die näherungsweise Lösung von Optimalsteueraufgaben deutlich verringert werden. Damit können in Zukunft größere und kompliziertere Aufgaben numerisch gelöst werden. Bei der numerischen Lösung von Optimalsteueraufgaben treten zum Teil sogenannte Superkonvergenzeffekte auf. Ein tieferes Verständnis für diese soll helfen, Superkonvergenzeigenschaften in Algorithmen gezielt auszunutzen. Damit können bei gleicher Diskretisierung wesentlich höhere Genauigkeiten der Lösung erhalten werden.

Viele technologische Prozesse werden durch Systeme partieller Differentialgleichungen beschrieben. Die Optimierung solcher Prozesse oder auch die Identifikation von Prozessparametern führt auf Optimalsteuerprobleme bei partiellen Differentialgleichungen. Häufig werden solche Aufgaben durch zusätzliche Beschränkungen charakterisiert, d.h. die Prozessgrößen müssen zusätzliche Gleichungen und Ungleichungen erfüllen. In diesem Projekt wurden linear-quadratische Aufgaben untersucht. Das Optimierungsziel war eine quadratische Funktion während die Gleichungen und Ungleichungen von linearer Natur waren. Ziel dieses Projektes war die Untersuchung geeigneter Diskretisierungs- und Regularisierungsstrategien speziell für zustandsbeschränkte Optimalsteuerprobleme. Für diese wichtige Aufgabenklasse konnten in diesem Projekt eine ganze Reihe neuartiger Erkenntnisse gewonnen werden. Das betrifft zum einen die Regularisierung zustandsbeschränkter Probleme durch Probleme mit gemischten Steuer-Zustands-Beschränkungen. Für beide im Projekt untersuchten Ansätze, Lavrentiev-Regularsierung und das Konzept virtueller Steuerungen, konnten Aussagen über den Regularisierungsfehler gewonnen werden. Darüber hinaus gelang es für beide Konzepte auch den Diskretisierungfehler bei der Diskretisierung mittels finiter Elemente abzuschätzen. Durch eine Weiterentwicklung einer Primal-Dualen-Aktive-Mengen-Strategie ist jetzt auch eine sehr effiziente Methode zur numerischen Lösung solcher Probleme verfügbar. Da in diesem Projekt auch Aussagen über den Verfahrensfehler gewonnen wurden, steht nun ein Gesamtkonzept zur Verfügung, dass es erlaubt Aufgaben dieser Problemklasse mit vorgegebener Genauigkeit effizient zu lösen.