Irrfahrten auf Zufallsteilgraphen von transitiven Graphen

Stochastische Irrfahrten auf perkolativen Graphen auf dem Euklidischen Gitter waren in den letzten Jahren Gegenstand intensiver Forschung: die Rückkehrwahrscheinlichkeit der Einfachen Irrfahrt auf der superkritischen unendlich großen Komponente wurde untersucht von Benjamini und Mossel [10], Heicklen und Hoffmann [28], Mathieu und Remy [39], Barlow[5] und Fontes und Mathieu [19]. Die Annahmen beinhalten normalerweise den Bernoulli Perkolation und die zeitkontinuierliche einfache Irrfahrt. Die Diskussion war teilweise heftig. Geometrische Eigenschaften der großen Komponente (wie z.B. Isoperimetrie [\ref{matrem}] und Wachstum [\ref{barlow}]) spielten eine wichtige Rolle. Etwas früher und ohne notwendigen Bezug zu Irrfahrten wurde das Thema der Verallgemeinerung von Resultaten über Perkolation auf dem Gitter auf transitive Graphen untersucht (siehe Lyons[38]), als ein altes Konzept zunächst von Häggström [23] unter dem Namen `mass-transport-principle` Wiederentdeckung fand. Dieses wurde in [8] zu einem Instrument zur Berechnung von Erwartungswerten von arithmetischen Mitteln erweitert, wie sie sonst nur im spezielleren Fall von (Cayley Graphen von) amenablen Gruppen vorkommen [36]. Für seine effiziente Anwendung ist die Voraussetzung der Unimodularität von Wichtigkeit. Unimodular sind jene transitive Graphen, deren Automorphismengruppe eine transitive unimodulare Teilgruppe enthält. Schließlich wurden Diestel-Leader Graphen als Vorschlag für eine Antwort auf die Frage von Woess aus den frühen Neunzigern erfunden: Gibt es (Vertex-) transitive Graphen, die nicht quasi-isometrisch zu den Cayley Graphen von endlich erzeugten Gruppen sind? Diese Familie von Graphen (C) enthält mehrheitlich nicht-unimodulare Graphen, wärend eine prominente Teilklasse, die Cayley Graphen von sog. lamplightergroups` sogar Mittelbarkeit aufweisen. Ein Resultat was die vorangehenden drei Themenkreise verkettet ist das Resultat von Bartholdi und Woess [7], das teilweise und früher von Revelle mit anderen Methoden gefunden wurde: Die asymptotische Form der Rückkehrwahrscheinlichkeiten von unimodularen und nicht-unimodularen DL-Graphen ist verschieden: ein unterschiedlicher Vorfaktor (Quotient ist genau `n` - diskrete Zeit). Unser Ziel ist es anhand der asymptotischen Eigenschaften von Irrfahrten Veränderungen der Eigenschaften (zum Beispiel Mittelbarkeit), also Phasenübergänge von Perkolationsgraphen zu finden, die zwischen zwei transitiven Graphen unterschiedlichen Typs `interpolieren`.

Ziel des Projektes: In dem Projekt P18703 wurde die Absicht verfolgt, Abschätzungen der erwarteten Rückkehrwahrscheinlichkeit (bzw. der sog. Integrierten Zustandsdichte) anzugeben. Die Methodik konzentrierte sich dabei auf das Eigenwertvergleichsverfahren mit dem Namen `Interlacing`. Anstelle einer Beschränkung auf die Euklidischen Gitter wurden transitive Graphen mit unimodularer Automorphismengruppen als Untersuchungsgegenstand gewählt. A. Die Hauptaufgabe bestand darin, obere und untere Schranken für die Rückkehrwahrscheinlichkeit von Irrfahrten auf Graphen mit Hilfe von Vergleichstechniken (wie z. B. `Interlacing`) zu finden. B. Die naheliegendste Anwendung der Resultate aus A. sind Perkolations-Graphen, insbesondere solche mit langsam abfallenden Cluster-Größen-Verteilungen. Hier ist die erwartete Rückkehrwahrscheinlichkeit (bzw. die integrierte Zustandsdichte) von Interesse. C. Eine Eigenschaft von Graphen, die zum zentralen Gebiet der Probleme des Themas `Irrfahrten auf Graphen` gehört ist die Amenabilität. Für horocyklische Produkte, eine spezielle Familie von zufälligen, exponentiell wachsenden Graphen, ist es von Interesse den Übergang zwischen (fast sicherer) Amenabilität und Nicht- Amenabilität zu verstehen. Erzielte Resultate: 1.): `An interlacing technique for spectra of random walks and ist application to finite percolation clusters`; accepted for publication by: Journal of Theoretical Probability, arXiv:math/0504518v4, (2008) (A. / B.) 2.): `Bounds for the annealed return probability on large finite random percolation clusters`; submitted to `Mathematische Zeitschrift`, arXiv:0812.0117v4, (2010) (A. / B.) 3.): `Amenability of horocyclic products of percolation trees`; submitted to Markov Processes and Related Fields, arXiv:0903.3140v2, (2008) (C.) 4.) (with V. Kaimanovich) `Stochastic homogenization of horospheric tree products`: Proc. of the 1st MSJ-SI, "Probabilitstic Approach to Geometry", arXiv:0906.5296v1 (2009) (C.) 5.) F. Sobieczky, G. Rappitsch, E. Stadlober: `Inventories modelled by stable tandemqueues under perturbation`, submitted by invitation to QREI special issue (Quality and Reliability Engineering International), (2010) (A.) Des weiteren erscheint ein Proceedingsband über das `Alm-Workshop 2009` in der Birkhäuser Reihe `Progress in Probability`. Laufende Zusammenarbeit mit: Steven Lalley (A.), Tatyana Turova (A,), Daniel Lenz and Ivan Veselic (C.), and with V. Kaimanovich (C.).