Summieren/Integrieren und Algebraische Abhaengigkeiten

Dieses Projekt befaßt sich mit dem Problem des Symbolischen Summierens, d.h. mit dem Problem, geschlossene Darstellungen für (endliche) Summen zu finden. Das Hauptziel ist die Entwicklung von Algorithmen, die in der Lage sind, gegebene Summenausdrücke zu vereinfachen - oder einen Beweis zu liefern, daß die gegebene Summe sich nicht weiter vereinfachen läßt (in einem bestimmten, wohldefinierten Sinn). Algorithmen für Symbolische Summation sind für verschiedene Typen von Summenausdrücken bereits bekannt. Für den Fall hypergeometrischer Summanden gibt es Algorithmen, die seit Ende der siebziger Jahre beginnend mit Gosper`s Algorithmus entwickelt wurden. Diese Algorithmen sind heute in allen wichtigen Computeralgebra- Systemen enthalten und dürfen deshalb als klassisch gelten. Darüber hinaus gibt es auch Algorithmen für einige kompliziertere Klassen von Summationsproblemen. In der vorgeschlagenen wissenschaftlichen Arbeit betrachten wir Summationsprobleme, auf die derzeit kein bekannter Algorithmus anwendbar ist. Wir sind besonders interessiert an Summationsproblemen, bei denen der Summand durch Folgen ausgedrückt ist, die nichttrivialen algebraischen Abhängigkeiten genügen. Die Existenz solcher Abhängigkeiten führt nämlich bei bekannten Algorithmen zu erheblichen Schwierigkeiten. Auf der anderen Seite hat die jüngste Arbeit des Antragstellers zu Fortschritten im Zusammenhang mit dem Auffinden algebraischer Abhängigkeiten geführt, die eine vielversprechende Grundlage für die vorgeschlagene Arbeit darstellen. Wir interessieren uns nicht nur für Summationsalgorithmen im engeren Sinne, sondern auch für heuristische Summationsmethoden, wenn die Beschränkung auf heuristische Methoden Vorteile bringt, z.B. den Vorteil eine größere Klasse von Summatiosproblemen abzudecken. Außerdem interessieren wir uns für Integrationsprobleme, die sich auf Summationsprobleme zurückführen lassen, die ihrerseits dann mit Summationsalgorithmen gelöst werden können. Die erwarteten Resultate des Projekts sind interessant aus algorithmischer Sicht. Sie sind aber auch interessant in Bezug auf Anwendungen. Wir erwarten, daß Summationsmethoden, die im Rahmen dieses Projekts entwickelt werden, in der Lage sind, Summations- und Integrationsprobleme aus Anwendungen zu lösen, z.B. aus der Theorie der speziellen Funktionen oder aus der Kombinatorik.

Dieses Projekt befaßt sich mit dem Problem des Symbolischen Summierens, d.h. mit dem Problem, geschlossene Darstellungen für (endliche) Summen zu finden. Das Hauptziel ist die Entwicklung von Algorithmen, die in der Lage sind, gegebene Summenausdrücke zu vereinfachen - oder einen Beweis zu liefern, daß die gegebene Summe sich nicht weiter vereinfachen läßt (in einem bestimmten, wohldefinierten Sinn). Algorithmen für Symbolische Summation sind für verschiedene Typen von Summenausdrücken bereits bekannt. Für den Fall hypergeometrischer Summanden gibt es Algorithmen, die seit Ende der siebziger Jahre beginnend mit Gosper`s Algorithmus entwickelt wurden. Diese Algorithmen sind heute in allen wichtigen Computeralgebra-Systemen enthalten und dürfen deshalb als klassisch gelten. Darüber hinaus gibt es auch Algorithmen für einige kompliziertere Klassen von Summationsproblemen. In der vorgeschlagenen wissenschaftlichen Arbeit betrachten wir Summationsprobleme, auf die derzeit kein bekannter Algorithmus anwendbar ist. Wir sind besonders interessiert an Summationsproblemen, bei denen der Summand durch Folgen ausgedrückt ist, die nichttrivialen algebraischen Abhängigkeiten genügen. Die Existenz solcher Abhängigkeiten führt nämlich bei bekannten Algorithmen zu erheblichen Schwierigkeiten. Auf der anderen Seite hat die jüngste Arbeit des Antragstellers zu Fortschritten im Zusammenhang mit dem Auffinden algebraischer Abhängigkeiten geführt, die eine vielversprechende Grundlage für die vorgeschlagene Arbeit darstellen. Wir interessieren uns nicht nur für Summationsalgorithmen im engeren Sinne, sondern auch für heuristische Summationsmethoden, wenn die Beschränkung auf heuristische Methoden Vorteile bringt, z.B. den Vorteil eine größere Klasse von Summatiosproblemen abzudecken. Außerdem interessieren wir uns für Integrationsprobleme, die sich auf Summationsprobleme zurückführen lassen, die ihrerseits dann mit Summationsalgorithmen gelöst werden können. Die erwarteten Resultate des Projekts sind interessant aus algorithmischer Sicht. Sie sind aber auch interessant in Bezug auf Anwendungen. Wir erwarten, daß Summationsmethoden, die im Rahmen dieses Projekts entwickelt werden, in der Lage sind, Summations- und Integrationsprobleme aus Anwendungen zu lösen, z.B. aus der Theorie der speziellen Funktionen oder aus der Kombinatorik.