Renormierbare deformierte Quantenfeldtheorie

Um die Probleme der Quantenfeldtheorie einerseits bzw. die der Quantisierung der Gravitation andrerseits in den Griff zu bekommen, werden in letzter Zeit quantenfeldtheoretische Modelle auf deformierten Raumzeitgeometrien formuliert und studiert. Dabei wurde vor sechs Jahren eine neue Schwierigkeit entdeckt, die als Ultraviolett/ Infrarot- Mischung bezeichnet wird. Dies führt zur Nichtrenormierbarkeit, die Störungsreihe hat keine Aussagekraft mehr. Um dies zu beheben wurde von Raimar Wulkenhaar und dem Antragsteller eine Analyse der skalaren kanonisch deformierten Feldtheorie durchgeführt. Letztendlich erwiesen sich vier Operatoren als relevant/marginal, während im kommutativen Fall drei genügen. Durch Einbeziehen dieses vierten Operators konnte die Renormierbarkeit gezeigt werden. Eine Gruppe in Paris um Prof. Rivasseau konnte zwei alternative Beweise führen und damit insbesondere Fermionfelder renormierbar quantisieren. Im vorliegenden Projekt wird diese Methode weiter angewandt. Falls die Deformationsmatrix im vierdimensionalen Raum Rang zwei besitzt, könnte ein ähnlicher Trick die Feldtheorie wohldefinieren. Als nächstes wird die analytische Fortsetzbarkeit zu einer Lorentz-Geometrie studiert werden. Weiters werden wir analoge Schritte für Materiefelder auf verschieden deformierten Räumen studieren. Das Verschwinden der Betafunktion am Selbstdualitätspunkt der skalaren Feldtheorie führte zur Hoffnung, ein nichttriviales skalares Feld in vier deformierten Raumzeitdimensionen konstruieren zu können. Die große Herausforderung betrifft aber die deformierte Eichfeldtheorie. In den letzten Monaten wurden mehrere Vorschläge durch formale Deformationen bzw. Twists in der Literatur eingeführt. Dabei wurden bisher keinerlei Quantenkorrekturen berücksichtigt. In Zusammenarbeit mit Münster und der TU Wien werden wir zunächst Einlooprechnungen solcher Modelle studieren und hoffen, dass durch Konsistenzüberlegungen und der Forderung nach Renormierbarkeit ein bevorzugtes Modell resultiert. Wir werden auch einen vollen Beweis der Renormierbarkeit über die "Background Field Methode" versuchen. Ein großes Ziel wäre die Formulierung eines mathematisch konsistenten deformierten Standardmodells, das die elektromagnetischen, schwachen und starken Wechselwirkungen unter Einbeziehung einer fluktuierenden Raumzeit beschreibt. Letztendlich werden wir auch versuchen, deformierte Gravitationsmodelle zu untersuchen.

Um die Probleme der Quantenfeldtheorie einerseits bzw. die der Quantisierung der Gravitation andrerseits in den Griff zu bekommen, werden in letzter Zeit quantenfeldtheoretische Modelle auf deformierten Raumzeitgeometrien formuliert und studiert. Dabei wurde vor sechs Jahren eine neue Schwierigkeit entdeckt, die als Ultraviolett/ Infrarot- Mischung bezeichnet wird. Dies führt zur Nichtrenormierbarkeit, die Störungsreihe hat keine Aussagekraft mehr. Um dies zu beheben wurde von Raimar Wulkenhaar und dem Antragsteller eine Analyse der skalaren kanonisch deformierten Feldtheorie durchgeführt. Letztendlich erwiesen sich vier Operatoren als relevant/marginal, während im kommutativen Fall drei genügen. Durch Einbeziehen dieses vierten Operators konnte die Renormierbarkeit gezeigt werden. Eine Gruppe in Paris um Prof. Rivasseau konnte zwei alternative Beweise führen und damit insbesondere Fermionfelder renormierbar quantisieren. Im vorliegenden Projekt wird diese Methode weiter angewandt. Falls die Deformationsmatrix im vierdimensionalen Raum Rang zwei besitzt, könnte ein ähnlicher Trick die Feldtheorie wohldefinieren. Als nächstes wird die analytische Fortsetzbarkeit zu einer Lorentz-Geometrie studiert werden. Weiters werden wir analoge Schritte für Materiefelder auf verschieden deformierten Räumen studieren. Das Verschwinden der Betafunktion am Selbstdualitätspunkt der skalaren Feldtheorie führte zur Hoffnung, ein nichttriviales skalares Feld in vier deformierten Raumzeitdimensionen konstruieren zu können. Die große Herausforderung betrifft aber die deformierte Eichfeldtheorie. In den letzten Monaten wurden mehrere Vorschläge durch formale Deformationen bzw. Twists in der Literatur eingeführt. Dabei wurden bisher keinerlei Quantenkorrekturen berücksichtigt. In Zusammenarbeit mit Münster und der TU Wien werden wir zunächst Einlooprechnungen solcher Modelle studieren und hoffen, dass durch Konsistenzüberlegungen und der Forderung nach Renormierbarkeit ein bevorzugtes Modell resultiert. Wir werden auch einen vollen Beweis der Renormierbarkeit über die "Background Field Methode" versuchen. Ein großes Ziel wäre die Formulierung eines mathematisch konsistenten deformierten Standardmodells, das die elektromagnetischen, schwachen und starken Wechselwirkungen unter Einbeziehung einer fluktuierenden Raumzeit beschreibt. Letztendlich werden wir auch versuchen, deformierte Gravitationsmodelle zu untersuchen.