Farbeinschluss und topologische Konfigurationen

Der Einschluss von Farbladungen in QCD und Yang-Mills-Theorie stellt seit vielen Dekaden ein ungeloestes und herausforderndes Problem dar. In jüngster Zeit haben zwei Aspekte besondere Aufmerksamkeit erhalten. Zum einen wird vermutet, dass der lineare Anstieg des Quark-Antiquark-Potentials (und auch chirale Symmetriebrechung) durch topologische Konfigurationen wie Vortices und Monopole verursacht wird. Zum anderen erscheint der Farbeinschluss im Eichsektor, explizit sichtbar in den Green`schen Funktionen, im Rahmen der Szenarien von Kugo und Ojima sowie von Gribov und Zwanziger verständlich. Erste Versuche diese beiden sehr unterschiedlichen Aspekte zu vereinigen wurden erst in den letzten Jahren gemacht, und die Ergebnisse lassen einen direkten Zusammenhang als sehr wahrscheinlich erscheinen. Dies ist besonders gut sichtbar an Änderungen der Green`schen Funktionen, wenn die topologischen Elemente manipuliert werden. Ausgehend hiervon werden in diesem Projekt drei Ziele verfolgt: Erstens sollen die Abhängigkeiten topologischer Konfigurationen von Eichung und Eichgruppe untersucht werden um invariante topologische Strukturen zu identifizieren. Zweitens scheint derzeit die Verbindung beider Farbeinschlussszenarien das Spektrum des Faddeev- Popov-Operators zu sein. Daher soll seine Abhängigkeit von der Eichung und der Eichgruppe ebenfalls untersucht werden. Zuletzt sollen die Abhängigkeiten der Green`schen Funktionen, besonders die, die Gluonen beschreiben, von den topologischen Beitraegen analysiert werden in dem letztere systematisch manipuliert werden. Die geeignetste Methode für dieses Projekt ist Gittereichtheorie, und der Inhalt des Projektes ist teilweise geeignete numerische Methoden zu entwickeln, um die wissenschaftliche Ziele des Projektes zu erreichen. Die in diesen drei Teilzielen gesammelten Erkenntnisse werden einen weiteren Einblick in den Zusammenhang zwischen verschiedenen Farbeinschlussszenarien gewaehren, und auch in die Eigenschaften topologischer Konfigurationen. Da diese aufgrund ihres Einflusses auf die chirale Symmetriebrechung mit der Hadronenphysik verbunden sind, kann dieses in der Zukunft auch ein besseres fundamentales Verständnis der Eigenschaften von Hadronen ermöglichen, und damit letzendlich von Experimenten.

Die Kerne von Atomen bestehen aus Protonen und Neutronen. Diese wiederum sind aus noch kleineren Teilchen aufgebaut, den sogenannten Quarks. Die Quarks werden durch den Austausch von Gluonen, einer weiteren Sorte von Teilchen, zu den Kernbausteinen Proton und Neutron zusammengebunden. Dies ist bekannt seit den späten 1960er/frühen 1970er Jahren. Trotzdem war es bis jetzt nicht möglich ein einzelnes Quark oder Gluon zu isolieren. Die Hypothese, dass dies prinzipiell unmöglich ist, bezeichnet man als Confinement-Hypothese, und Confinement ist der Name des Mechanismus der es einem Quark oder Gluon unmöglich macht ein Proton oder Neutron zu verlassen. Eine zufriedenstellende Erklärung von Confinement wurde bis zum heutigen Tag nicht gefunden, und stellt eine der zentralen Herausforderungen der Quantenchromodynamik dar. In der Tat wurde für eine mathematisch exakte Lösung ein Preis von 1.000.000 US-Dollar durch das Clay-Institut für Mathematik ausgesetzt, und damit ein Verständnis von Confinement als eines der sogenannten Millenniumsprobleme eingestuft. Die Suche nach einer Lösung hat zu einer großen Anzahl von Modellen geführt, jedes mit eigenen Schwächen und Stärken, Nachteilen und Vorteilen. Zwei von diesen, die von großer Bedeutung in der letzten Dekade waren, haben sehr unterschiedliche Ansätze verfolgt. Ein Ansatz basiert darauf, wie Quarks und Gluonen sich als einzelne Teilchen bewegen. Der andere charakterisiert wie sich Quarks durch eine große Zahl von Gluonen bewegen, welche als ein kollektives Medium behandelt werden. Das Hauptziel dieses Projektes war zu verstehen, wie diese beiden Ansätze vereinigt werden können, da eine Kombination viele Nachteile beider Modelle eliminieren würde. Das Ergebnis dieser Untersuchung ist, dass eine solche Vereinigung möglich ist, auch wenn noch zahlreiche mathematische und konzeptuelle Details zu klären sind. Insbesondere wurde gezeigt, dass Gluonen umso stärker durch kollektive Effekte beeinflußt werden, je weiter sie sich bewegen. Bildlich gesprochen scheint es so, dass ein einzelnes Gluon mehr und mehr weitere Gluonen mit sich mitzieht, je weiter es sich bewegt, und dadurch an dem Verlassen eines Protons oder Neutrons gehindert wird. Im Verlauf der Identifikation dieses Effektes wurden viele Details der Bewegung von Gluonen ermittelt. Noch mehr wurde dabei über die mathematischen Werkzeuge, die zur Beschreibung von Gluonen notwendig sind, verstanden, und insbesondere wie man die Ergebnisse unterschiedlicher Methoden vergleichen kann. Insbesondere wurden auch recht allgemeine Ergebnisse über den mathematischen Rahmen, sogenannte Quanteneichtheorien, erzielt. Diese betreffen hauptsächlich die Art und Weise wie sich globale Symmetrien, die Gluonen verschiedener Ladungen miteinander in Bezug setzen, in der Bewegung von Gluonen über lange Distanzen äußern. Weiterhin wurden Einsichten gewonnen wie sich kollektive Aspekte von Gluonen auf die Massenerzeugung für Quarks und ihren Einschluß auswirken. Durch die Untersuchung eines Modells mit Quarks und Gluonen mit außergewöhnlichen Eigenschaften konnte gezeigt werden, dass die Massenerzeugung für Quarks möglicherweise ein Mechanismus zugrunde liegt, der unabhängig ist von dem Grad an Unordnung in kollektiven Verbünden der Gluonen.