Globale Analysis in Algebren verallgemeinerter Funktionen

Algebren verallgemeinerter Funktionen haben in den letzten Jahren zahlreiche Anwendungen in Gebieten mit starkem geometrischen Bezug gefunden. Sowohl in der Strukturtheorie (nicht glatte Differentialgeometrie) als auch in Anwendungen in der mathematischen Physik, insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie, wurden beträchtliche Fortschritte erzielt. Das Vorgängerprojekt Geometrische Theorie verallgemeinerter Funktionen hat einen beträchtlichen Beitrag zur Weiterentwicklung dieses aktuellen Forschungsgebietes geleistet. Ziel des vorliegenden Projektes ist es, aufbauend auf diesen Grundlagen die globale Analysis in Algebren verallgemeinerter Funktionen substantiell weiterzuentwickeln. Unsere Untersuchungen werden im Rahmen der Colombeau`schen Theorie der Algebren verallgemeinerter Funktionen durchgeführt, einer nichtlinearen Erweiterung der linearen Distributionentheorie von Laurent Schwartz, die einen konzeptuellen Rahmen für die Analyse von Problemen liefert, die gleichzeitig Nichtlinearitäten, Differentiation und Singularitäten beinhalten. Die der Konstruktion zugrunde liegenden Ideen sind einerseits die Regularisierung singulärer Ausdrücke durch Faltung und andererseits die Quantifizierung der Stärke von Singularitäten durch asymptotische Abschätzungen in Termen eines Regularisierungsparameters. Die Theorie tritt in zwei Hauptvarianten auf, nämlich in Form der speziellen und der vollen Algebren verallgemeinerter Funktionen. Für beide Versionen wollen wir die Grundlagen der globalen Analysis entwickeln. Die primären Forschungsrichtungen innerhalb des Projektes sind pseudo-Riemanngeometrie (die für Anwendungen in der Relativitätstheorie von essentieller Bedeutung ist), algebraische Zugänge zur nicht glatten Differentialgeometrie, sowie das Studium von Algebren verallgemeinerter Funktionen auf Mannigfaltigkeiten mit zusätzlicher Struktur. Wie schon im Vorgängerprojekt werden wir relevanten Anwendungsgebieten besondere Aufmerksamkeit widmen. Insbesondere gilt dies für die allgemeine Relativitätstheorie, jenes Gebiet, in dem viele der behandelten Konzepte ihren Ursprung haben.

Algebren verallgemeinerter Funktionen haben in den letzten Jahren zahlreiche Anwendungen in Gebieten mit starkem geometrischen Bezug gefunden. Sowohl in der Strukturtheorie (nicht glatte Differentialgeometrie) als auch in Anwendungen in der mathematischen Physik, insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie, wurden beträchtliche Fortschritte erzielt. Im gegenwärtigen Projekt wurde, aufbauend auf diesen Grundlagen die globale Analysis in Algebren verallgemeinerter Funktionen substantiell weiterentwickelt, sowohl bezüglich ihrer mathematischen .Grundlagen als auch in wichtigen Anwendungsfeldern. Unsere Untersuchungen wurden im Rahmen der Colombeauschen Theorie der Algebren verallgemeinerter Funktionen durchgeführt, einer nichtlinearen Erweiterung der linearen Distributionentheorie von Laurent Schwartz, die einen konzeptuellen Rahmen für die Analyse von Problemen liefert, die gleichzeitig Nichtlinearitäten, Differentiation und Singularitäten beinhalten. Die der Konstruktion zugrunde liegenden Ideen sind einerseits die Regularisierung singulärer Ausdrücke durch Faltung und andererseits die Quantifizierung der Stärke von Singularitäten durch asymptotische Abschätzungen in Termen eines Regularisierungsparameters. Die Theorie tritt in zwei Hauptvarianten auf, nämlich in Form der speziellen und der vollen Algebren verallgemeinerter Funktionen. Für beide Versionen wurden in diesem Projekt die Grundlagen der globalen Analysis entwickeln. Die primären Forschungsrichtungen innerhalb des Projektes waren pseudo-Riemanngeometrie (die für Anwendungen in der Relativitätstheorie von essentieller Bedeutung ist), algebraische Zugänge zur nicht glatten Differentialgeometrie, sowie das Studium von Algebren verallgemeinerter Funktionen auf Mannigfaltigkeiten mit zusätzlicher Struktur. BesondereAufmerksamkeit wurde relevantenAnwendungsgebieten gewidmet, insbesondere der allgemeinen Relativitätstheorie, jenem Gebiet, in dem viele der behandelten Konzepte ihren Ursprung haben.