Kreuzdiffusion in Chemotaxis- und Tumorwachstumsmodellen

Kreuzdiffusionsmodelle sind typischerweise Systeme stark nichtlinearer Gleichungen in Divergenzform mit nichtdiagonaler Diffusionsmatrix. Derartige Modelle treten natürlicherweise etwa in der Biologie, Chemie und Physik bei der Untersuchung von Systemen mit mehreren Spezies auf. Kreuzdiffusion kann die Segregation von Populationen oder granularen Materialien, Musterbildung in Reaktions-Diffusions-gleichungen oder Aggregation in Chemotaxismodellen verursachen. In diesem Projekt beabsichtigen wir, Kreuzdiffusionsmodelle aus der Biologie zu untersuchen, die Chemotaxis oder Tumorwachstum beschreiben. Unsere Unter-suchungen beinhalten die Wohlgestelltheit der Anfangsrandwertprobleme, das qualitative Verhalten der Lösungen und deren numerische Approximation. Die Modellierung der biologischen und chemischen Phänomene wird in diesem Projekt nicht behandelt. Anstelle dessen steht das Verständnis der mathematischen Struktur von Kreuzdiffusionsmodellen und die Entwicklung von verfeinerten mathematischen Hilfsmitteln im Vordergrund. Im ersten Teil des Projektes werden Keller-Segel-Modelle für Chemotaxis vom Kreuz-diffusionstyp untersucht. Chemotaxis ist ein biologisches Phänomen, das die Evolution von Populationen (Amöben, Bakterien, Zellen usw.) beschreibt, die auf externe chemische Anregungen reagieren. Eine mögliche Aggregation der Zellen wird dadurch modelliert, dass die Lösungen der mehrdimensionalen Keller-Segel-Gleichungen in endlicher Zeit unbeschränkt ("blow up") werden können. Wir schlagen eine neue Erweiterung des parabolisch-parabolischen Keller-Segel-Modells vor, das schwache Lösungen für alle Zeiten und für alle Anfangsmassen besitzt. Das globale Existenzresultat basiert neuen A-priori- Abschätzungen, welche eine Konsequenz der Charakterisierung allgemeinerer Kreuzdiffusionsprobleme sind. Wir konkretisieren Bedingungen, unter denen die allgemeinen Probleme A-priori-Abschätzungen besitzen, die wir als Entropieabschätzungen bezeichnen. Diese Bedingungen stehen im Zusammenhang mit der Äquivalenz zwischen der Existenz von Lyapunov-Funktionalen (mathematische Entropien) für das System und die Existenz von "symmetrisierenden" Variablentransformationen. Des weiteren lösen wir das klassische zwei-dimensionale Keller- Segel-Modell vor und nach dem "Blow-up" numerisch unter Verwendung von Teilchenmethoden und "moving mesh" Finite-Elemente-Techniken. Im zweiten Projektteil analysieren wir Kreuzdiffusionsmodelle für Tumorwachstum. Typischerweise wird das erste Stadium des Tumorwachstums durch avaskuläres (gefäßloses) Wachstum modelliert. Wir untersuchen zwei makroskopische avaskuläre Wachstumsmodelle aus der Literatur: das Modell von Casciari et al. (1992), das auf einem Drift-Diffusionsansatz für die molaren Flüsse der chemischen Spezies beruht, und das Modell von Jackson und Byrne (2002), das die Evolution der Volumenanteile der Tumorzellen und der extrazellulären Matrix (d.h. das die Zellen umgebende Material) beschreibt. Die mathematische Struktur dieser Kreuzdiffusionsmodelle ist nichttrivial, da die Diffusionsmatrizen nicht symmetrisch und nicht positiv definit sein können. Dieses Problem wird mit Hilfe von geeigneten Variablentransformationen und entsprechenden Entropieabschätzungen überwunden. Das Ziel ist der Beweis der Wohlgestelltheit für schwache Lösungen und masse- und positivitätserhaltende numerische Schemata.

Das Hauptziel dieses Projektes war die Analysis von Kreuz-Diffusionsmodellen zur Beschreibung von biologischen Anwendungen wie Chemotaxis, Tumorwachstum und Multikomponentenfluids. Während Diffusion üblicherweise die Lösung glättet, kann Kreuzdiffusion zu einer Reihe von kontraintuitiven Effekten führen, wie up-hill diffusion und Musterbildung. Die mathematische Schwierigkeit ist, dass die Diffusionsmatrix solcher Systeme oft nicht die gewünschten Eigenschaften besitzt, die für die mathematische Analysis notwendig sind (Symmetris, positive Bestimmtheit). Das Projekt hatte zum Ziel, zum Verständnis von Kreuzdiffusionseffekten beizutragen.Dieses Ziel wurde durch das Ausnutzen einer speziellen Struktur der Gleichungen (Gradientenfluss- oder Entropiestruktur) erreicht. Inspiriert durch Nichtgleichgewichts-Thermodynamik haben wir sogenannte Entropievariablen eingeführt, mit deren Hilfe die Systeme so formuliert werden können, dass die Diffusionsmatrix (symmetrisch und) positiv definit wird, womit die mathematischen Schwierigkeiten überwunden werden können. Ein weiterer Vorteil dieser Transformation ist, dass damit stabile numerische Schemata möglich werden, die in biologischen Anwendungen verwendet werden können.