Dirac Eigenmoden und Zentrumsvortices in SU(2) Gitter-QCD

Das Zentrumsvortex-Modell wurde als mögliche Erklärung des Quarkeinschlusses (Confinement) in der Quantenchromodynamik (QCD) eingeführt. Geschlossene, quantisierte farbmagnetische Flüsse führen zur Einengung der farbelektrischen Feldlinien auf einen schmalen Flussschlauch, den Gluonstring und folglich zu einem linearen Potential zwischen Quarks und Antiquarks. In den letzten Jahren konnte in numerischen Rechnungen gezeigt werden, dass das Vortexmodell in der Lage ist, die Stärke des Gluonflussschlauches, die sog. Stringspannung, zu erklären. Außerdem konnte die Relevanz des Vortexmodelles zur Erklärung topologischer Ladung und der chiralen Symmetriebrechung unterstrichen werden. Im Zuge der Untersuchungen zur topologischen Ladung hat unsere Arbeitsgruppe eine Verletzung des sogenannten Index-Theorems festgestellt. Der Index eines Dirac Operators, d.h. die Differenz positiver und negativer Nullmoden, ist demnach der topologischen Ladung einer Eichkonfiguration gleichzusetzen. Einige Vortexkonfigurationen (Kugelvortices) erfüllen dieses Theorem jedoch nicht. Die Ursache dafür sollte noch näher untersucht werden. Außerdem wurden spezielle Konfigurationen mit halbzahliger topologischer Ladung gefunden, deren Relevanz und physikalische Bedeutung es zu prüfen gilt. Zur Klärung dieser Punkte sollen verschiedene Fermiondarstellungen am Gitter in Betracht gezogen werden, im Hinblick auf halbzahlige topologische Ladung insbesondere auch in adjungierter Darstellung. Die Brechung der chiralen Symmetrie ist neben dem Confinement, das wichtigste Phänomen der Niederenergie- QCD. Das volle Verständnis dieses Phänomens ist deshalb von hoher Bedeutung. Die Dynamik der QCD enthält im Falle masseloser Quarks keine Wechselwirkung zwischen rechtshändigen und linkshändigen Quarks, zwischen Quarks, deren Spin in und gegen die Flugrichtung gerichtet ist. Man spricht von der chiralen Symmetrie der Lagrangefunktion. Die numerischen Rechnungen zeigen, dass Quarkeinschluss mit einer dynamischen Kopplung zwischen rechts- und linkshändigen Quarks, einer dynamischen Brechung der chiralen Symmetrie verbunden ist. Dies legt nahe, dass die topologischen Anregungen, die zum Quarkeinschluss führen, auch für die dynamische Brechung der chiralen Symmetrie verantwortlich sind. Wir planen der Frage nachzugehen, ob es besondere Stellen im Gluonfeld gibt, an denen Quarks abgelenkt werden, woduch eine dynamische Kopplung zwischen rechts- und linkshändigen Quarks zustande kommen könnte. Eine Untersuchung der Farbstruktur der Zentrumsvortices sollte zur Klärung dieser Frage beitragen können.

Gitter-QCD ist das wichtigste Instrument zur Untersuchung der Quantenchromodynamik (QCD), die Theorie der Quarks und Gluonen, in nicht-störungstheoretischer Näherung. Es handelt es sich um eine Eichtheorie formuliert auf einem diskreten, vier-dimensionalen Raum-Zeit Gitter mit Eich-Freiheitsgrade auf den Kanten des Gitters und Fermionen, d.h. Quarks, auf den Punkten des Gitters. Die Wechselwirkungen der Fermionen wird durch die Dirac Gleichung beschrieben. Wir verwenden zwei verschiedene Gitter-Formulierungen des Dirac Operators, overlap und asqtad staggered, und berechnen die Eigenmoden und Eigenwerte für verschiedene Eichfelder. Mit diesen Methoden analysieren wir das QCD Vakuum und untersuchen die physikalischen Mechanismen seiner grundlegenden Eigenschaften: Quark-Einschluss: Es gibt keine isolierten Quarks in der Natur, die Bindungsenergie zwischen Quark und Antiquark ist so hoch, dass bei einer Trennung eines Quark-Antiquark Paares, ein neues Quark-Antiquark Paar im QCD Vacuum entsteht. Topologische Ladung: Eichfelder sind durch topologische Quasiteilchen-Anregungen charakterisiert, ihre Zahl ist eine topologische Invariante und kann mit einer (Gitter-) Eichfelddefinitionen oder durch die Anzahl der Dirac Nullmoden über das Atiyah-Singer Indextheorem gemessen werden. Chirale Symmetriebrechung: Für masselose Quarks führt die Lagrangefunktion der QCD, die Funktion zur Beschreibung der Dynamik, nicht zu einer Interaktion zwischen rechts- und linkshändigen Quarks, Quarks mit Spins in und gegen die Bewegungsrichtung. Numerische Untersuchungen zeigen, dass der Quark-Einschluss mit einer dynamischen Kopplung von rechts- und linkshändigen Quarks verbunden ist, einer dynamischen Brechung der chiralen Symmetrie. Dies deutet darauf hin, dass die topologischen Anregungen, die für den Quark- Einschluss verantwortlich sind, auch die Ursache für die chirale Symmetriebrechung sein könnten. In der Gitter-QCD konnte gezeigt werden, dass magnetische Flusswirbel (Vortices) im Vakuum kondensieren und den elektrischen Kraftfluss zwischen Quark und Antiquark in einen Flussschlauch komprimieren, was zum Quark-Einschluss führt. Gitter Simulation deuten weiters darauf hin, dass Vortices für topologische Ladung und chirale Symmetriebrechung verantwortlich sind. Unsere Untersuchungen zeigen deutlich, dass nicht nur Kreuzungs- und Windungspunkte, sondern auch die Farbstruktur der Vortices topologische Ladungsbeiträge liefern und Nullmoden anziehen. Bei mehreren (verschiedenen) Ladungsbeiträgen entstehen nahe Nullmoden, die durch die Banks-Casher Beziehung für ein endliches chirales Kondensat verantwortlich sind, den Ordnungsparameter der chiralen Symmetriebrechung. Vortices sind daher in der Lage alle nicht- störungstheoretischen Phänomene im QCD-Vakuum erklären.