Hamiltonsche Deformationen von Gabor Frames

Das Ziel dieses Projektes ist das Studium einer Klasse von nichtlinearen Deformationen von Gabor Frames und die Anwendung von Zeit-Frequenz Analyse auf Probleme in Quantum Mechanik. Die Wirkung linearer oder affiner symplektischer Transformation auf Gabor Frames ist wegen der symplektischen/metaplektischen Kovarianzeigenschaft der Heisenberg Operatoren. Andererseits gibt es nur sehr wenige nicht-triviale Resultate fuer den Fall von allgemeinen nicht-linearen Symplektomorphismen. Ein Symplektomorphismus ist eine nicht-lineare Verallgemeinerung einer symplektischen Transformation: Eine Abbildung f wird ein Symplektomorphismus genannt, falls die Jacobi Matrix symplektisch an jedem Punkt des Definitionsbereich ist. Typische Beispiele von allgemeinen Symplektomorphismen werden durch die Betrachtung von Hamiltonschen Fluessen gegeben, welche durch die Hamiltonschen Gleichungen der Dynamik gegeben sind. Es stellt sich heraus, dass solche Hamiltonsche Symplektomorphismen extensiv in den letzten Jahren studiert wurden, im besonderen durch die Verbindung mit dem aufstrebenden Zweig der Mathematik, welcher unter dem Namen der "Symplektischen Topologie" bekannt ist. Eine der Perlen dieses Gebietes ist das non-squeezing Theorem von Gromov. Der Hauptzweck des Projektes ist eine neue Forschungslinie am Schnittpunkt von unkt von Symplektischer Geometrie, Zeit-Frequenz Analyse, Quantum Mechanics und Hamiltonschen Symplektomorphismen. Zeit-Frequenz Analyse versucht im wesentlichen Funktionen und Distributionen auf dem Phasenraum bzw. der Zeit-Frequenz Ebene darzustellen, wobei man Verallgemeinerungen der Kurzzeit Fourier Transformation in Bezug zu einer geeigneten Fensterfunktion g (typischerweise die Gauss-Funktion). Falls man versucht zu verstehen, welche Abbildungen des Phasenraumes eine Darstellung in eine andere transformiert, dann stellt sich heraus, dass die syplektische Struktur des Phasenraumes zu erhalten ist, d.h. man kann nur symplektische Transformationen zulassen. Dieser Zugang gestattet zum Beispiel Gabor Reihen auf Gittern (der Standardfall arbeitet mit seperablen Gittern der Form ) in Gabor Reihen auf alternativen Gittern, zum Beispiel gescherten Gitter in der Zeit-Frequenz Ebene. Eine potentielle Anwendung dieser deformierten Gabor Frames ist ein Zugang zur Schroedinger Gleichung mit Hilfe von Methoden der Zeit-Frequenz Analyse. Teile dieses Projektes sind Konsequenzen und Weiterentwicklungen der Forschungen und der Resultate des FWF Projektes "Symplectic Geometry and Applications to TFA and QM" (FWF P20442-N13), welches eine Reihe an interessanten Publikationen und Resultate produziert hat.

Dieses Projekt, welches auf Grund der anspruchsvollen mathematischen Werkzeuge eher theoretischer Natur ist, hat zahlreiche offensichtliche praktische Anwendungen z.B. im Bereich des Ingenieurwesens oder bei medizinischen bildgebenden Verfahren. Beim Scannen eines Objektes (z.B. Patienten) durch ein MRT oder Röntgen-Gerät ist es notwendig jegliche Bewegung zu vermeiden, damit das resultierende Bild nicht verschmiert ist. Durch die Modellierungstechniken, welche in diesem Projekt vorgestellt werden, ist es möglich diese Voraussetzung fallen zu lassen und gute Resultate zu bekommen sogar für den Fall, dass das Objekt (z.B. Kind) sich bewegt. Weitere mögliche Anwendungen ergeben sich aus analogen Überlegungen in der Verbesserung der Radar-Technologie, welche stark auf rekonstruierende Verfahren beruht.