Hyperbolische Strukturen in Stochastik, Graphentheorie und Topologie

Die hyperbolischen Strukturen des Projekttitels sind generell metrische Räume die hyperbolisch sind im Sinne von Gromov. Dies umfasst unendliche Bäume ebneso wie die klassische hyperbolische Ebene nach Bolyai - Lobachevski - Poincaré hyperbolic plane. Allgemeiner treten die letzteren Strukturen als Unterstrukturen anderer geometrischer Objekte auf, wie z.B. metrische ebenso wie kombinatorische Graphen, horozyklische Produkte von Bäumdn und hyperbolischen Ebenen, und anderen verwandten Riemannschen Komplexen. Besonderes Augemnmerk liegt auf Graphen die (mit ihrer diskreten Metrik) im Sinne von Gromov hyperbolisch sind; Bäumen als den grundlegenden Beispielen hyperbolischer Graphen, die auch zur Beschreibung komplizierterer Strukturen mittles Strukturbäumen verwendet werden; hyperbolischn Räumen oder Graphen die aus allgemeineren metrischen Räumen aufgebaut sind und die letzteren als ihren Rand im Unendlichen haben; Räume (nicht ausschließlich Graphen), die nicht selbst hyperbolisch sind, aber aus hyperbolischen Blöcken aufgebaut sind, wie die horozyklischen Produkte von Bäumen und der oberen Halbebene, die bereits im Vorgängerprojekt studiert wurden. Die spezifischen Themen, die untersucht werden sollen, sind die folgenden. 1. Fortsetzung des Studiums von Brownscher Bewegung und harmonischen Funktionen auf dem "treebolic space" und verwandten horozyklischen Produkten. 2. Irrfahrten auf Baumslag-Solitar Gruppen - mit A in direktem Bezug. 3. Studium stochastischer dynamischer Systeme von iterierten Lipschitz-Abbildungen im kritischen Fall auf dem Weg der von Peigné und Woess eingeführten hyperbolischen Erweiterung; Prozesse auf hyperbolischen Rändern. 4. Eine Fortsezung der von Georgakopoulos und Kolesko begonnenen Arbeit über Brownsche Bewegung und Potentialtheorie auf metrischen Graphen mit endlicher Kantenlängensumme. 5. Characterisierung der planaren Gruppen, mit dem Ziel, Strukturbaumzerlegungen dieser Gruppen zu erhalten; Erweiterungen auf den nichtplanaren Fall. 6. Die Verwendung von erweiterten Bäumen und Gromov-Hyperbolizität, um lokalen Zusammenhang in topologischen Räumen zu beschreiben. In der für die Forschungsinteressen von W. Woess typischen Weise werden diese Themen zusammengehalten durch das Ziel, mathematische Forschung am Schnittpunkt verschiedener Gebiete zu betreiben, wobei die Verbindung von Strukturtheorie mit anderen Themen im Vordergund steht. Im Vergleich mit den Vorgängerprojekten gibt es jetzt eine teilweise Verschiebung von Irrfahrten zur Brwonschen Bewegung and auch einen neuen Schwerpunkt betreffend Themen zwischen Graphentheorie und Topologie. Selbstverständlich bleibt das Studium von Irrfahrten und verwandten Dingen in vielfältiger Weise präsent. Für dieses Projekt und seine Projektangestellten (ein PostDoc und einE DoktoratsstudentIn) wird eine intensive Interaktion mit dem FWF-Doktoratskolleg "Discrete Mathematics" erwartet, dessen Sprecher Wolfgang Woess ist.

Dieses mathematische Forschungsprojekt hat sich mit Fragestellungen befasst, die in verschiedener Weise eine hyperbolische Natur haben. Dies ist im geometrischen Sinn zu verstehen: Vorbild ist die hyperbolische Ebene, wie sie im 19. Jahrhundert von Lobatschevski, Bolyiai, sowie Gauss entdeckt wurde. Sie ist negativ gekrümmt, und das klassische Parallelenaxiom gilt nicht mehr. Aus ihr leiten sich andere, hier auch diskrete Strukturen ab, nämlich Graphen und Gruppen mit hyperbolischen Eigenschaften. Graphen kann man sich als Netzwerke vorstellen; hier haben sie unendlich viele Knoten, die durch Kanten verbunden sind. Das typischste Graphen-Gegenstück zur hyperbolischen Ebene ist ein regulärer Baum. Gruppen kann man als Mengen von Symmetrieabbildungen von geometrischen Strukturen verstehen. Die Themen dieses Forschungsprojekts beziehen sich einerseits auf die Struktur von Graphen, Gruppen und metrischen Räumen mit hyperbolischer Natur, und andererseits auf Zufallsprozesse, die in solchen Strukturen stattfinden: Markovprozesse, Random Walks, die zugeordnete Analysis und Potentialtheorie.Die Themen dieses Projektes waren breit angelegt, und hatten insbesondere das Ziel, jungen ForscherInnen Entfaltungsmöglichkeiten zu geben und die lebhafte Forschungsgruppe von Woess weiterzuentwickeln. In der Tat gab es insgesamt 6 ProjektmitarbeiterInnen, deren Aktivität im Projekt sie zum großen Teil zu anderen akademischen Stellen geführt hat, und eine große Zahl an Projektpublikationen, die in diesem Projekt begonnen, durchgeführt, bzw. beendet wurden. Die Hauptresultate betreffen folgende Themen: ? Charakterisierung des Poissonrandes für transiente (hyperbolische) Random Walks auf ebenen Quadrat-Pflasterungen; ? algebraische i und dynamische Eigenschaften von Automaten-Gruppen, also Symmetriegruppen von regulären Wurzelbäumen, die durch Mealy-Automaten erzeugt werden; ? Brownsche Bewegung und harmonische Funktionen auf treebolic spaces (horozyklische Produkte der hyperbolischen Ebene mit regulären Bäumen, baumartige Auffaltungen der hyperbolischen Ebene); ? Charakterisierung des Poissonrandes für Random Walks auf nichtmittelbaren Baumslag-Solitar-Gruppen (das sind Symmetriegruppen von Varianten der treebolic spaces); ? asymptotische Analyse von isotropen Markovschen Zufallsprozessen auf ultrametrischen Räumen (den geometrischen Rändern von Bäumen); ? Untersuchung von Transienz und Rekurrenz von reflektierenden Random Walks im mehrdimensionalen Raum.