Türme von p-Klassenkörpern über algebraischen Zahlkörpern

Der Hauptforschungszweig dieses Projekts untersucht unverzweigte Erweiterungen von Primzahlpotenzgrad über algebraischen Zahlkörpern. Aufbauend auf unseren Vorarbeiten zur Identifizierung der zweiten p-Klassengruppe eines Zahlkörpers mithilfe der Struktur der Kerne und Ziele der Verlagerungen dieser Gruppe in ihre Normalteiler oberhalb der Kommutatoruntergruppe erstreben wir die Herleitung möglichst einschränkender Auswahlregeln für die zweite p-Klassengruppe spezieller Typen von Grundkörpern. In internationaler Zusammenarbeit ist die erstmalige Analyse von bizyklisch biquadratischen und zyklisch quartischen Zahlkörpern mit elementar abelscher p-Klassengruppe vom Rang zwei oder drei geplant. Die gruppentheoretische Information wird sich aus der Arithmetik dieser Grundkörper ergeben, nämlich aus der Struktur der p-Klassengruppen ihrer unverzweigten Erweiterungen innerhalb des ersten Hilbertschen p-Klassenkörpers und aus der Kapitulation von Idealklassen in diesen. Noch wesentlich anspruchsvollere Ergebnisse wollen wir in der weiteren Erforschung der quadratischen Grundkörper erreichen, deren zweite p-Klassengruppen bereits aus unseren Vorarbeiten bekannt sind und somit einen optimalen Ausgangspunkt bilden, um auch noch das letzte denkbare Ziel, nämlich die Länge des p- Klassenkörperturms und die maximale unverzweigte pro-p Erweiterung mittels der Methoden von Golod- Shafarevich und Koch-Venkov in Angriff zu nehmen. Für die abschließende Herleitung der Auswahlregeln sowohl für die zweite p-Klassengruppe als auch für die potentiell unendliche pro-p Gruppe des gesamten Turms bleiben wir in engem Kontakt mit der internationalen Forschungsfront der Koklassentheorie der p-Gruppen und ermitteln die möglichen Galoisgruppen durch eine Kombination des p-Gruppen Erzeugungs-Algorithmus in bottom-up Richtung und der kohomologischen Periodizitäts-Isomorphismen durch Quotientenbildung aus unendlichen pro-p Gruppen in top-down Richtung. In einem Nebenforschungszweig sollen ausbaufähige Ergebnisse unseres ehemaligen Erwin Schrödinger Projekts zur weiteren Untersuchung von verzweigten primzyklischen Erweiterungen zyklotomischer und quadratischer Grundkörper herangezogen werden, einerseits für eine Klassifikation reiner quintischer Körper nach ihren ambigen Hauptidealen und andererseits für eine vertiefte Behandlung von Diederkörpern unter Verwendung der ganzzahligen Darstellungen ihrer S-Einheitengruppen als Galois-Moduln.

Der Klassenkörperturm besteht aus stufenweisen Erweiterungen eines Grundkörpers, wobei jeder Stufe eine Gruppenstruktur zugeordnet ist. Das Hauptziel dieses Forschungsprojekts war die Identifizierung der Turmgruppe, die dem gesamten Turm entspricht. Durch internationale Zusammenarbeit gelang die vollständige Aufklärung des bisher ungelösten Problems für einen Grundkörper mit Klassenrang zwei. Es stellte sich heraus, dass diese Türme stets endliche Hohe besitzen, während sie ab Rang drei ein unbeschränktes Wachstum aufweisen. Ein markanter Unterschied zeigte sich für komplexe Grundkörper mit wahrhaften Wolkenkratzern als Türmen im Gegensatz zu reellen Grundkörpern, die sich schon mit recht bescheidenen Hohen zufrieden geben. Das Projekt hat ein neues Zeitalter der Untersuchung dreistufiger Türme eingeleitet und damit die österreichische Wissenschaft an die internationale Forschungsfront gestellt. Fruchtbare Auswirkungen sind für das Nachbargebiet der Gruppentheorie zu erwarten, weil die Bestimmung der Turmgruppe auf neu entdeckten sich periodisch wiederholenden Mustern in Baumdiagrammen beruht. Eine weitere grundlegende Erkenntnis ist die Tendenz, dass sich in Systemen von Typinvarianten die meisten Bestandteile mit festen Werten stabilisieren, während einige ausgezeichnete polarisierte Komponenten veränderlich bleiben und wertvolle Schlüsselinformation über die Turmgruppe einkapseln. Die Errungenschaften des Projekts wurden an internationalen wissenschaftlichen Kongressen in Schottland, Kalifornien, Marokko, Ungarn, Slowakei und Shanghai vorgestellt. Gemeinsame Arbeit mit Mathematikern in den Vereinigten Staaten, Marokko, Japan und Australien hat die internationale Zusammenarbeit mit Österreich gefestigt.