Probleme der Identifikation von Objekten: Numerik

Die Aufgabe besteht in der Identifikation sowie Rekonstruktion geometrischer und physikalischer Eigenschaften von unbekannten geometrischen Objekten unter der Benutzung von Randmessungen. Dies findet Verwendung bei zestörungsfreien Prüfverfahren in zahlreichen Wissenschaftsbereichen, die aus Sicht von Theorie sowie Praxis höchst wichtig und aktuell sind. Dieser mathematische Aspekt gehört auch in den Bereich der inversen Probleme und der Form- bzw. Topologieoptimierung. Aus physikalischen Gründen, muss die Form sowie die Randbedingungen des Prüfobjektes a-priori als unbekannt betrachtet werden. Dies erfordert geeignete Variationstechniken, welche eine Hauptrolle in der Beschreibung des beliebigen Objekts spielen. Das aktuelle Projekt fokussiert auf die Konstruktion und Analyse effektiver numerischen Werkzeuge zur Lösung der Aufgabe der Identifikation von Objekten. Aus diesen Gründen sind Untersuchungen in folgende Richtungen geplant: 1. Im Themenbereich von direkten Problemen unter Berücksichtigung der Akustik und Wellenphänomene besteht unser Ziel in hochauflösender numerische Interpolation des zugehörigen variationellen Lösung mit verallgemeinerten finiten Elementen. Zu diesem Zweck dient insbesondere die quasilineare Approximation basierend auf der Anreicherung von Testfunktionen nach der Petrov-Galerkin Methode. 2. Im Themenbereich von Topologieoptimierung besteht unser Ziel in der Modellierung geeigneter Bildfunktionen, welche einem Prüfobjekt beliebiger Form und Randbedingung entsprechen. Unser Konzept basiert auf einer Kombination aus Variationstechniken und verallgemeinerter asymptotischer Analyse bezüglich der Formvariablen im Rahmen der Theorie singulärer Störungen. 3. Im Themenbereich von inversen Problemen besteht unser Hauptziel in der Konstruktion von Identifikationsalgorithmen mit hoher Auflösung und Stabilität obiger Bildfunktionen. Um dies zu erreichen, ist die numerische Analyse vorgesehen, wobei die Benutzung der Optimalitätsbedingungen, sowie das Level-Set- Methodenkonzept, eine wichtige Rolle spielen. Das geplante Projekt hat die Entwicklung numerischer Algorithmen unter Berücksichtigung der mathematischen Modelle aus den Bereichen Technik und Biomedizin (z.B. inverse Streuung , Tomografie) zum Ziel. Fehlerabschätzungen und numerische Experimente sind vorgesehen, um unsere theoretischen Untersuchungen zu unterstützen.

Probleme der Identifikation von Objekten: Numerik (PION). Die Aufgabe des Projektes bestand in der Identifikation sowie Rekonstruktion geometrischer und physikalischer Eigenschaften von unbekannten Objekten (z.B. Hindernisse, Inhomogenitäten, Risse) basierend auf Optimierungsmethoden, z.B. durch Energieminimierung oder durch Minimierung der kleinsten Fehlerquadrate bezüglich Messungen am Rand bzw. im Fernfeld. Die Fragestellung ist aus Sicht der Theorie und Praxis wichtig und aktuell. Sie findet Verwendung bei zerstörenden und auch zerstörungsfreien Prüfverfahren in zahlreichen Ingenieurbereichen. Aus diesen Gründen wurden im Projekt die folgenden Studien durchgeführt: (i) Zur Lösung von direkten Problemen z.B. in der Akustik wurde eine neue und effiziente verallgemeinerte finite Elemente Methode entwickelt. Diese Methode ist ein Petrov-Galerkin Verfahren, dessen numerische Auflösung durch Anreicherung des Testraumes signifikant erhöht wurde. (ii) Es wurden zahlreiche Variationsprobleme mit Nebenbedingungen, die zu parabolischen und elliptischen Problemen verwandt sind, auf Existenz untersucht. Insbesondere, eine Klasse von Diffusionsmodellen aus dem Bereich des elektrokinetischen Transport in mehrphasigen Systemen wurden betrachtet. Weiter wurde die Existenz von verallgemeinerten Lösungen von impliziten konstitutiven Gleichungen für nichtlineare Elastizitätsmodelle mit Rissen bewiesen. (iii) Im Themenbereich der Topologieoptimierung wurden Bildfunktionen derart konstruiert, dass mit deren Hilfe geometrische Objekte beliebiger Form dargestellt werden können. Die dazugehörige Klasse geometrieabhängiger Lagrange-Funktionen wurde auf Form-Differenzierbarkeit untersucht. Unser Konzept basierte auf Variationstechniken in Kombination mit singulärer asymptotischer Analysis sowie Homogenisierung. (iv) Für inverse Probleme wurden hochauflösende Identifikationsalgorithmen entworfen, die oben genannten Bildfunktionen verwenden. Die Algorithmen sind stabil gegenüber der Diskretisierung der Formvariablen und gegenüber verrauschten Daten. Zur Konstruktion der Algorithmen wurden gradientenfreie Optimalitätsbedingungen aus der Form- bzw. Topologieoptimierung und die Level-Set-Methode verwendet. Zur Untermauerung der theoretischen Ergebnisse wurden zahlreiche numerische Studien durchgeführt. Wir merken an, dass die erzielten Resultate allgemeiner verwendet werden können als für die Fragestellungen (i)-(iv). Mit Hilfe des Projektes wurden relevante Aufgaben in der nichtlinearen und numerischen Optimierung, in der Form- und Topologieoptimierung, sowie in der Theorie von überbestimmten Problemen und Problemen mit freiem Rand bearbeitet. Diese Aufgaben sind mit wichtigen Anwendungen in den Ingenieur- und biomedizinischen Wissenschaften verbunden. Innerhalb der 5-jährige Projektlaufzeit (1.4.2014-31.3.2019) wurden die folgende akademische Leistungen erbracht: eine Doktorarbeit, 26 referierte Publikationen (weitere 7 sind eingereicht oder in Vorbereitung), 1 Buchredaktion, Teilnahme an 68 Konferenzen (mit 39 Vorträge, davon 5 Plenar-, 6 Mitorganisationen), 25 ausgehende (mit 9 Vorträge auf Einladung) und 7 eingehende Mobilität, finden Sie Details unter https://static.uni-graz.at/fileadmin/_Persoenliche_Webseite/kovtunenko_victor/fwf-p26147/