Probleme in der Zeit-Frequenz-Analyse

Dieses Projekt widmet sich mehreren Problemen der Zeit-Frequenz-Analyse, welche sich als moderne Richtung der harmonischen Analysis ausweist. (i) Der erste Problembereich betrifft die Feinstruktur von Gaborframes. Das sind Frames, die durch Zeit-Frequenz- Verschiebungen einer einzelnen (Fenster) Funktion erzeugt werden. Das Problem besteht darin, zu gegebener Fensterfunktion alle Gitter, die einen Frame erzeugen, zu charakterisieren. Basierend auf der vollstaendigen Erklaerung der Feinstruktur von Gaborframes fuer totalpositive Funktionen, gibt es Gruende fuer die Annahme, dass ein generisches Gitter einen Frame erzeugt und dass algebraische Obstruktionen vorliegen muessen, wenn ein Gitter keinen Frame erzeugt. (ii) Der zweite Problembereich betrifft die Untersuchung einer verallgemeinerten Zeit-Frequenz-Analyse, die nicht nur Zeit-Frequenz-Verschiebungen, sondern auch Chirps und aehnliche Operationen verwendet. Solche verallgemeinerten Zeit-Frequenz-Analysen entstehen durch irreduzible, unitaere, quadrat-integrierbare Darstellungen einer nilpotenten Gruppe. Das Ziel ist, Frames, Basen und Koorbitraeume zu untersuchen, die durch quadrat-integrierbare Darstellungen von nilpotenten Liegruppen erzeugt werden. Die verallgemeinerte Zeit- Frequenz-Analyse ist motiviert durch die kuerzliche Entdeckung von Orthonormalbasen im Orbit von Darstellungen gewisser nilpotenter Gruppen. (iii) Der dritte Teilbereich ist die Untersuchung spezieller Probleme aus der Zeit-Frequenz-Analyse von Operatoren, und zwar sind dies die Untersuchung der Zeitentwicklung der Schroedingergleichung mit einer Anfangsbedingung in einem Modulationsraum; die Invertierbarkeit von Zeit-Frequenz-Lokalisierungsoperatoren; und ein neuer Begriff von Funktionen variabler Bandbreite sowie dazu gehoeriger Abtastsaetze. Die Zeit-Frequenz- Analyse von Operatoren ist Teil eines Langzeitforschungsprogramms der lokalen Arbeitsgruppe.

Das Projekt Probleme der Zeit- Frequenz Analyse beschäftiget sich mit der Darstellung von Signalen (Funktionen) mittels Zeit-Frequenz Information oder Abtastwerten einer Funktion.Bezüglich der Rekonstruktion eines Signals (oder einer Funktion) aus Zeit-Frequenz-Daten wurde ein neues, optimales Result für sogenannte total-positive Erzeuger bewiesen. Dieses Resultat liefert die Teillosung eines 25 Jahre alten Problems in der Zeit-Frequenz-Analyse und wurde von den Gutachtern als echter Durchbruch bewertet.Das Problem der Rekonstruktion aus Zeit-Frequenz-Daten (Gabor-Analyse) hangt eng mit Abtastsätzen für shift-invariante Raume zusammen, die eine Erweiterung von Raumen band- begrenzter Funktionen darstellen. Es wurde gezeigt, dass auch in dieser Allgemeinheit im Mittel wenigstens ein Abtastwert pro Zeiteinheit erforderlich ist, um ein Signal vollständig zu rekonstruieren. Dieses Resultat bestätigt die heuristischen Argumente, die sich in der Ingenieurliteratur finden.Auf einem abstrakteren Niveau wurde die Existenz einer kritischen Abtastdichte gezeigt, die notwendig für die vollständige Rekonstruktion einer Funktion in sehr allgemeinen Klassen von Raumen ermöglicht. Diese notwendige Dichte ist eine informationstheoretische Große, die in einfachen Fällen der maximalen Frequenz oder Bandbreite eines Signals entspricht.In diesem Zusammenhang wurde ein neuer Begriff der variablen Bandbreite eingeführt und erste Untersuchungen durchgeführt. Es wurde ein konkretes Abtastsatz bewiesen (der einer Analog-Digital-Umwandlung entspricht) und der richtige Ausdruck für die kritische Dichte gefunden.1