Colombeau-Algebren: Strukturtheorie und Regularität

Algebren nichtlinearer verallgemeinerter Funktionen wurden von J.-F. Colombeau in den 1980er Jahren eingeführt, um mathematische Fragestellungen zu behandeln, in welchen nichtlineare Operationen, Differentiation und Singularitäten gemeinsam auftreten. Die Theorie dieser Algebren stellt dabei sowohl eine Erweiterung klassischer Analysis als auch der Schwartz`schen Distributionentheorie dar. Colombeau`sche Algebren werden erfolgreich zur Untersuchung singulärer Differential- gleichungen, in der nichtglatten Differentialgeometrie und zum Studium singulärer Fourier- Integraloperatoren verwendet, was zahlreiche Anwendungen etwa in der mathematischen Geophysik und der allgemeinen Relativitätstheorie ermöglicht. Viele Aspekte dieser Theorie wurden bis heute nur für vereinfachte Varianten solcher Algebren, sogenannte spezielle Colombeau-Algebren, entwickelt. Diese verfügen jedoch über inherente Einschränkungen; so ist z.B. keine geometrische (koordinateninvariante) Einbettung von Distributionen in spezielle Algebren möglich. Deshalb wurde ab den späten 1990er Jahren eine geometrische Theorie verallgemeinerter Funktionen im Rahmen der sogenannten vollen Colombeau-Algebren entwickelt, welche eine koordinateninvariante Untersuchung von singulären Problemen in einem geometrischen Umfeld ermöglicht. Die Entwicklung dieser geometrischen Theorie voller Colombeau`scher Algebren im allgemeinsten Fall, d.h. für verallgemeinerte Schnitte von Vektorbündeln, wurde erst kürzlich durch die Einführung eines funktionalanalytischen Ansatzes ermöglicht, welcher die Colombeau`sche Theorie im theoretischen Unterbau der Distributionentheorie verankert. Das gegenwärtige Projekt zielt darauf ab, diesen funktionalanalytischen Ansatz weiter auszubauen und damit eine Brücke zu klassischen funktionalanalytischen Methoden zu schlagen, welche in der Colombeau-Theorie bisher nur eine untergeordnete Rolle spielten. Ein Hauptziel ist dabei die Entwicklung einer Strukturtheorie Colombeau`scher Algebren, welche die Vielzahl an existierenden Varianten, ihre Eigenschaften und Beziehungen zueinander zu erfassen und erklären vermag und in deren Rahmen erst wichtige Operationen auf verallgemeinerten Funktionen eingeführt und untersucht werden können. Dadurch ergeben sich auf natürliche Art und Weise Methoden, um diese Algebren für spezielle Anwendungszwecke anzupassen und in stärkeren Bezug zur klassischen Distributionentheorie zu bringen. Das andere Hauptziel ist, mikrolokale Analysis und Regularitätstheorie für Colombeau`sche Algebren auf diesem funktionalanalytischen Ansatz aufzubauen. Dabei werden natürlichere geometrische Herangehensweisen möglich, welche neue Werkzeuge zur Analyse nichtlinearer verallgemeinerter Funktionen beinhalten.

Dieses Forschungsprojekt befasste sich mit dem Gebiet nichtlinearer verallgemeinerter Funktionen im Sinne von Colombeau. Darunter versteht man eine mathematische Theorie welche Probleme beschreiben kann, in denen gleichzeitig Nichtlinearitäten (d.h. die Reaktion eines physikalischen Systemes auf eine äußere Einwirkung kann sehr disproportional zu der Einwirkung sein), Differentiation (d.h. die Beschreibung der momentanen Änderung) und Singularitäten (Phänomene deren Beschreibung Ausdrücke wie "unendlich klein" oder "unendlich groß" umfasst) auftreten. Das Hauptziel dieses Projektes war, die Theorie nichtlinearer verallgemeinerter Funktionen so zu erweitern, dass sie auf geometrische Fragen angewendet werden kann. Üblicherweise können geometrische Phänomene auf beliebig viele aber äquivalente Wege (Koordinatensysteme) beschrieben werden, also sollte jede mathematische Theorie, die sich damit befasst, Ergebnisse geben, welche nicht von der speziellen Wahl der Beschreibung abhängen. Diese Bedingung führt jedoch zu ernsten Schwierigkeiten im Zusammenhang mit nichtlinearen verallgemeinerten Funktionen. Diese Schwierigkeiten wurden im Zuge dieses Projektes erfolgreich überwunden, was eine fundamentale Neuaufstellung der gesamten Theorie notwendig machte. Dies hat nicht nur zu einem viel besseren strukturellen Verständnis geführt, sondern auch zu einer sehr flexiblen allgemeinen Struktur von Räumen nichtlinearer verallgemeinerter Funktionen, welche einfach an spezielle Anforderungen und Anwendungen angepasst werden können. Darauf aufbauend wurden geometrische Fragen im Kontekt von nichtlinearen verallgemeinerten Funktionen, insbesondere mit Bezug auf die allgemeine Relativitätstheorie, erfolgreich studiert und besser verstanden.