Adaptive Magnus-Integratoren für Quantensysteme

Im Projekt `Adaptive Magnus-Integratoren für Quantensysteme werden wir große Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen vom Typ der Schrödingergleichung untersuchen. Die betrachteten Modelle treten etwa in der Simulation neuartiger Solarzellen und Transistoren auf und sind auch in der Optimierung ähnlicher Systeme von großer Bedeutung. Das Verständnis der zugrundeliegenden physikalischen Prozesse basiert wesentlich auf numerischer Simulation mittels computerbasierter Methoden. Für die Zeitentwicklung der numerischen Lösung werden Magnus- artige Verfahren vorgeschlagen, die die Lösung durch eine Folge von Exponentialen zeitunabhängiger Matrizen approximieren. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Konstruktion und Analyse von a posteriori Fehlerschätzern zur adaptiven Schrittweitenwahl, da Adaptivität der Schlüssel zur Durchführung von großen Simulationen der relevanten Anwendungsprobleme ist. In jedem Schritt des Integrators werden Matrix-Exponentialfunktionen berechnet. Dies geschieht näherungsweise mit der Lanczos Methode. Ein defektbasierter Fehlerschätzer wird gegenwärtige Strategien zur Steuerung des Algorithmus ersetzen, welche nur gerechtfertigt sind, wenn bereits eine gute Approximation erreicht ist. Die neuen Integratoren werden eine genauere, effizientere und zuverlässigere Lösung der Modellgleichungen ermöglichen und darüber hinaus verlässliche Information über den Approximationsfehler liefern. Dies erlaubt somit solide Vorhersagen zu den untersuchten Problemen. Die Anwendungen, die mit den neuen numerischen Verfahren untersucht werden, entstammen der Festkörperphysik und der Steuerung von Quantensystemen. Wir werden eine neue Art von Solarzellen basierend auf Oxid-Heterostrukturen und neue, sogenannte Mott- Transistoren durch numerische Simulation untersuchen. Die Solarzellen sind optimal dafür geeignet, die Schockley-Queisser Grenze von 38% Effizienz zu überwinden und versprechen Solarzellen höchster Effizienz. Der Mott-Transistor andererseits hat ideale Umschalteigenschaften zwischen `Ein (Metall) und `Aus (Isolator). Ein wichtiger Aspekt in technischen Anwendungen ist darüberhinaus die optimale Steuerung und Manipulation von Quantensystemen mittels Laserpulsen bzw. die elektrischen und magnetischen Felder desselben. Dies bedingt, eine große Anzahl von den in diesem Projekt behandelten Problemen zu lösen, wodurch die Effizienz von numerischen Zeitintegratoren besonders an Bedeutung gewinnt. Alle genannten Projektziele können mit vorhandenen numerischen Lösungsverfahren bislang nicht mit der erforderlichen Genauigkeit und Effizienz realisiert werden Mit unseren adaptiven Verfahren hoher Ordnung wird es möglich sein, auch in den Anwendungsgebieten in ganz neue Regionen vorzustoßen.

Im Projekt "Adaptive Magnus Integratoren für Quantensysteme", wurden mathematische Modelle eines neuen Typs von Oxid-basierten Solarzellen untersucht, von denen man einen signifikanten Vorteil bei der Effizienz der Energieumwandlung erhofft im Vergleich zu herkömmlichen Silizium-basierten Solarzellen. Die Untersuchung der physikalischen Eigenschaften der Solarzellen dieser neuen Technologie können zu Beginn mit Hilfe von Computersimulationen der mathematischen Beschreibung des physikalischen Prozesses untersucht werden. Die Modelle werden numerisch am Computer gelöst, was einen immensen Ressourcenbedarf mit sich bringt. Um diesen Prozess zu beschleunigen, werden ausgefeilte numerische Algorithmen benötigt. Des Weiteren ist es wichtig, die Qualität der erhaltenen Näherung im Vergleich zur exakten Lösung abzuschätzen. Um das Ziel von verbesserter Effizienz und zuverlässiger Genauigkeit zu erreichen, wird der Lösungsprozess mit adaptiver Fehlerkontrolle versehen. In unserem Projekt wurden mathematische Näherungsverfahren in Verbindung mit zuverlässigen Fehlerschätzern und adaptiver Verbesserung der Lösung entwickelt und auf massiv parallelen Rechnern implementiert. Das Ziel war, die für die Entwicklung neuartiger oxid-basierter Solarzellen relevanten physikalischen Prozesse wie Impaktionisierung zu untersuchen. Dieser Prozess kann die Effizienz der Energieumwandlung in Solarzellen erhöhen. Die Ergebnisse des Projekts haben auch Einfluss auf verwandte Forschungsgebiete wie etwa die Untersuchung von Supraleitern.