Operatoren und Zeit-Frequenz Analyse

Dieses Projekt befasst sich mit Problemen der Zeit-Frequenz Analyse und Operatortheorie, motiviert durch Anwendungen sowohl in der Akustik, als auch der statistischen Mechanik. Beiden Gebieten ist die Notwendigkeit lokalisierter Signal-Darstellungen gemeinsam, insbesondere im Zusammenhang mit Audiokommunikation. Ursprünglich stammen die angewandten Methoden aus der harmonischen Analyse, einem Forschungsgebiet mit Anwendungen in Mathematik, Physik, Signalanalyse und Datenwissenschaften, der im sogenannten `Informationszeitalter` entscheidende Entwicklungen durchgemacht hat. In der Signalanalyse kann ein akustisches Signal, wie z.B. ein Musikstück, als zeitabhängige Funktion aufgefasst werden. Eine solche Darstellung erlaubt die Analyse des zeitlichen Verlaufs eines Signals, wie z.B. Rhythmuseigenschaften, jedoch sind die im Signal enthaltenen Frequenzen nicht ohne Weiteres ablesbar. Die Fouriertransformation auf der anderen Seite repräsentiert ein Signal als Überlagerung reiner Frequenzen, erschwert allerdings die Analyse seines zeitlichen Verhaltens. Da Audiosignale ihr Frequenzverhalten zeitabhängig verändern, sind Darstellungen, die eine simultane Zeit-Frequenz-Analyse durchführen, essentiell für die Akustik. Allerdings kann zusätzlich ein Signal in tatsächlichen Anwendungen nur in einem beschränkten Bereich gemessen werden. Um eine solche Messung mathematisch zu analysieren, verwenden wir Lokalisationsoperatoren, welche es erlauben, eine maximale Energiekonzentration im Messbereich zu erreichen. Solche Operatoren stehen im Zentrum dieses Projekts. Den Ausgangspunkt des Projekts stellen aktuelle Resultate des Projektleiters und seiner Kooperationspartner dar, die letztlich zum Verständnis des local accumulation Phänomens führen werden. Dieses Phänomen wurde zunächst von David Thompson in numerischen Simulationen beobachtet und im Jahre 1982 in seinem bedeutenden Beitrag zur Spektralschätzung beschrieben. Die beschriebene local accumulation-Eigenschaft wird durch eine spezifische Anordnung einer Funktionsfolge erreicht: Jede Funktion ergänzt die Einergieverteilung der vorangegangenen auf eine solche Weise, dass die Summe der Energieverteilungen eine Gleichverteilung annähert. Dieses Verhalten gleicht der pythagoräischen Relation sin(t)+cos(t)=1. Die Hauptziele des Projekts lauten wie folgt: Approximation von Zeit-Frequenz Lokalisationsoperatoren, das Studium von Zeit-Frequenz Distributionen, die Konstruktion von Zeit- Frequenz-Familien zur kompressiven Signalakquisition [?] und dem Erlernen der statistischen Eigenschaften zeitvarianter Signale. Wir erwarten, als Nebenprodukt unserer Forschung, Anwendungen im Bereich der Mehrschicht-Elektronenverteilung, einem Gebiet der statistischen Physik, welches im Zusammenhang mit mehreren Physik-Nobelpreisen und dem Quanten-Hall- Effekt steht. Das vorgestellte Projekt wird von Dr. Lus Daniel Abreu geleitet werden und am Institut für Schallforschung (ISF) der Österreichischen Akademie der Wissenschaften durchgeführt. Die Einstellung eines Post-Docs ist für ein Jahr geplant. Lokale Kooperationspartner sind sowohl in der Gruppe Mathematik und Signalverarbeitung am ISF, sowie der Numerical Harmonic Analysis Group der Universität Wien zu finden, die schon in der Vergangenheit mit dem Projektleiter zusammengearbeitet haben. Die geplanten internationalen Kooperationen sind wie folgt: Dr. Joakim Andén ( Simmons Foundation, NY, USA); Dr. Afonso Bandeira und Prof. Sinan Guntürk (Courant Institute of Mathematical Sciences, NY, USA); Prof. Götz Pfander (Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt, Deutschland); Joao M. Pereira, (Doktoratsstudent, PACM, Princeton University, USA).

Das Hauptziel dieses Projekts war die gründliche mathematische Untersuchung von Heuristiken, numerischen Experimenten und Methoden, die sich auf der angewandten Seite der Zeit-Frequenz und Zeit-Skalen Analyse als nützlich erwiesen haben. Der Hauptzweck der Zeit-Frequenz-Analyse besteht darin, ein gegebenes Signal als Funktion in der Zeit-Frequenz- oder Zeitskalenebene darzustellen. In realen Anwendungen wie Optik und drahtloser Kommunikation kann man ein Signal jedoch nur innerhalb eines bestimmten Bereichs dieser Ebenen "spüren". Dies bedeutet, dass in der Praxis der Teil des Signals außerhalb des interessierenden Bereichs vernachlässigt und nur seine "lokalisierte" Version beobachtet wird. Lokalisierungsoperatoren bringen diesen Beobachtungsprozess in strenge mathematische Begriffe. Sie wandeln ein gegebenes Signal in ein Signal um, das in einem bestimmten Bereich lokalisiert ist, indem sie die Signalenergie außerhalb dieses Bereichs auf einen vernachlässigbaren Betrag reduzieren. In diesem Projekt wurden Lokalisierungsoperatoren systematisch angewendet, um Probleme in der Signalanalyse, Physik und statistischen Schätzung zu lösen und Determinantenpunktprozesse (DPPs) aus einer neuen Perspektive zu untersuchen. DPPs sind Punktverteilungen mit inhärenter Abstoßung. Sie können geladene Teilchen modellieren und die Diversität in Suchalgorithmen wie Goggle fördern. Das wichtigste Ergebnis des Projekts war die Einführung moderner Wahrscheinlichkeitsmethoden in der Zeit-Frequenz-Analyse und das Verständnis, wie bestimmte zahlentheoretische Objekte, sogenannte Fuchsian Gruppen, in der Wavelet Theorie verwendet werden können, die für die Erfassung und Rekonstruktion zeitvarianter Signale wie Sprache und Musik entwickelt wurde.