Asymptotische Geometrische Analysis und Anwendungen

Die Asymptotische Geometrische Analysis ist eine vergleichsweise junge und dynamische Teildisziplin der Mathematik, die sich ursprünglich aus der lokalen Theorie der Banachräume entwickelt hat. Sie verbindet, im Wesentlichen, drei Bereiche der Mathematik: Funktionalanalysis, Diskrete- und Konvexgeometrie, und Wahrscheinlichkeitstheorie, wobei Systeme, die eine Vielzahl an Parametern involvieren, im Zentrum der Fragestellungen stehen. Die Theorie hat einige neue und unerwartete Phänomene aufgezeigt, die typisch für hohe Dimensionen sind. In Anbetracht der Tatsache, dass heutzutage hoch- dimensionale Systeme häufig in der Mathematik und angewandten Wissenschaften auftreten, wird das Verständnis solcher Phänomene immer wichtiger. Die Forschung, die im Rahmen dieses Projektes durchgeführt wird, reflektiert das breite Spektrum der Asymptotischen Geometrischen Analysis in verschiedenster Weise. Einige Probleme sind eher analytischer Natur, während andere eher geometrisch oder probabilistisch orientiert sind. Allen gemein ist das Zusammenspiel geometrischer, analytischer sowie probabilistischer Methoden. Wir studieren zentrale Grenzwertsätze und große Abweichungen für das Volumen zufälliger Projektionen von lp-Bällen, widmen uns großen Abweichungen für zufällige Projektionen von Produktmaßen, untersuchen die Geometrie von projektiven Tensorprodukträumen, Entropie- und Gelfandzahlen für Einbettungen von Schattenklasses sowie Operatornormen von Zufallsmatrizen bis hin zu neuen Anwendungen der Theorie in der Information- based Complexity, speziell, in der Dispersion von Punktmengen.

Die Asymptotische Geometrische Analysis ist eine vergleichsweise junge und dynamische Teildisziplin der Mathematik, die sich ursprünglich aus der lokalen Theorie der Banachräume entwickelt hat. Sie verbindet, im Wesentlichen, drei Bereiche der Mathematik: Funktionalanalysis, Diskrete- und Konvexgeometrie, und Wahrscheinlichkeitstheorie, wobei Systeme, die eine Vielzahl an Parametern involvieren, im Zentrum der Fragestellungen stehen. Die Theorie hat einige neue und unerwartete Phänomene aufgezeigt, die typisch für hohe Dimensionen sind. In Anbetracht der Tatsache, dass heutzutage hoch-dimensionale Systeme häufig in der Mathematik und angewandten Wissenschaften auftreten, wird das Verständnis solcher Phänomene immer wichtiger. Die Forschung, die im Rahmen dieses Projektes durchgeführt wurde, reflektiert das breite Spektrum der Asymptotischen Geometrischen Analysis in verschiedenster Weise. Einige Probleme, die gelöst wurden, sind eher analytischer Natur, während andere eher geometrisch oder probabilistisch orientiert sind. Allen gemein ist das Zusammenspiel geometrischer, analytischer sowie probabilistischer Methoden. Wir studierten zentrale Grenzwertsätze und große Abweichungen für das Volumen zufälliger Projektionen von lp-Bällen, widmeten uns großen Abweichungen für zufällige Projektionen von Produktmaßen, untersuchten die Geometrie von projektiven Tensorprodukträumen, Entropie- und Gelfandzahlen für Einbettungen von Schattenklasses sowie Operatornormen von Zufallsmatrizen bis hin zu neuen Anwendungen der Theorie in der Information-based Complexity, speziell, in der Dispersion von Punktmengen. Zuletzt haben wir noch Beiträge zum probabilistischen Verhalten lakunärer Summen geleistet.