Rotor Polynome: Algebra und Geometrie konformer Bewegungen

Ein typisches Thema der Mathematik an einer höheren Schule ist die Berechnung von Nullstellen einer Funktion und insbesondere einer Polynomfunktion. Man lernt die enge Beziehung zwischen diesen Nullstellen und der Fakto- risierung des Polynoms kennen. Mit Hilfe von Polynomdivision kann der Grad des Polynoms verringert werden, wodurch die Berechnung weiterer Nullstellen vereinfacht wird. Große Teile dieser Theorie behalten ihre Gültigkeit wenn die reellen (oder komplexen) Zahlen der Schule durch an- dere Arten von Zahlen ersetzt werden. In den letzten Jahren hat sich gezeigt, dass einige dieser scheinbar so seltsa- men Zahlsysteme gut geeignet zur Beschreibung der Kinematik starrer Körper sind die theoretische Grundlage von mechanischen Systemen und Robotern. Die Faktorisierung von Polynomen entspricht in diesem Zusammenhang der Zerlegung komplizierter Bewegungen in einfache oft sogar einfach genug um eine mechanische Erzeugung mittels Drehgelenken zuzulassen. Ein wichtiger Unterschied zu den aus der Schule bekannten Polynomen ist die Existenz von mehreren verschiedenen Faktorisierungen. Im Zusammenhang mit Starrkörperbewegungen ist das sogar ein Vorteil, da damit mehrere mecha- nische Systeme zur Erzeugung derselben Bewegung konstruiert werden können. Diese können dann vorteilhaft mit- einander kombiniert werden. Das Projekt Rotor Polynome: Algebra und Geometrie konformer Bewegungen zielt auf eine Erweiterung der Fak- torisierungstheorie auf Polynome ab, die nicht nur Starrkörperbewegungen sondern konforme Bewegungen be- schreiben. Während Starrkörperbewegungen die Länge und davon abhängige Elemente wie Winkel, Flächeninhalt oder Volumen erhalten, bewahren konforme Bewegungen bloß Winkel. Sie sind sicher weniger wichtig (aber nicht ganz irrelevant!) für die Robotik, haben aber dennoch Anwendungen in Disziplinen, für die der Vergleich von For- men eine Rolle spielt. Beispiele sind Computergraphik, Archäologie, Biologie oder Vermessung. Algorithmen zu Polynominterpolation, -faktorisierung und Division ebnen den Weg zur Anwendung fortgeschrittener algebraischer Techniken in diesen Gebieten. Ein tiefes Verständnis der Polynomfaktorisierung erfordert nicht nur Algebra sondern auch Geometrie. Diese kommt ins Spiel, wenn man die Zahlen der konformen Algebra als Punkte und ihre Polynome als Kurven in einem Raum von nicht weniger als 15 Dimensionen betrachtet. Der menschlichen Vorstellung sicher nicht leicht zugänglich, er- laubt diese reichhaltige Umgebung doch abstraktes geometrische und algebraisches Argumentieren und hat damit direkten Einfluss auf die Welt, die uns umgibt.

Im Rahmen des Projekts "Rotor Polynome: Algebra und Geometrie konformer Bewegungen" wurden Bewegungen eines starren Körpers aber auch von Objekten, die im Sinn der konformen Kinematik deformiert werden können, untersucht. Ein besonderes Augenmerk liegt dabei auf der Zerlegung (Faktorisierung) dieser Bewegungsvorgänge in einfache Elementarbewegungen, zum Beispiel Drehungen oder Schiebungen. Diese Zerlegungen sind wichtig für die mechanische Realisierung der Bewegungsvorgänge mit Hilfe von möglichst einfachen Mechanismen. Dabei werden die Elementarbewegungen durch mechanische Gelenke (Drehgelenk, Schubgelenk) erzeugt. Zerlegungen in Elementarbewegungen sind im allgemeinen möglich, aber nicht eindeutig. Es gibt auch sehr spezielle Bewegungen mit keiner oder sogar unendlich vielen Zerlegungen. Der Ansatz über die konforme Kinematik erlaubt ein vertieftes Verständnis der Ursachen für dieses zunächst überraschende Verhalten. Ein wichtiges Resultat des Projekts ist ein neuer geometrischer Algorithmus zur Faktorisierung rationaler Bewegungen. Im Gegensatz zu bekannte Faktorisierungsalgorithmen kann er auf die sehr wichtige Klasse der "algebraischen" Bewegungen verallgemeinert werden. Während sich rationale Bewegungen nur durch sehr spezielle Mechanismen erzeugen lassen, treten algebraische Bewegungen bei ganz allgemeinen Mechanismen auf. Allerdings zeigte sich auch, dass dort Faktorisierungen nur in besonderen Fällen möglich sind. Weitere Resultate befassen sich mit Beispielen für Bewegungen mit unendlich vielen Faktorisierungen. Bei diesen zeigen Faktorisierungsalgorithmen ein abnormes Verhalten, dass sich über algebraische Gleichungen beschreiben lässt. Etwas überraschend beinhaltet die Klasse dieser speziell faktorisierbaren Bewegungen auch bekannte Bewegungsvorgänge aus der konformen Kinematik, die bereits in anderen Zusammenhängen aufgetaucht sind. Dort wurden sie allerdings zur Beschreibung bestimmter physikalischer Phänomene und ohne Zusammenhang zur Faktorisierungstheorie entwickelt. Schließlich wurde auch noch die Synthese von einfachen rationalen Bewegungen aus vorgegebenen Elementen, im konkreten Fall die vorgegebene Bahn einer bewegten Ebene oder Geraden untersucht. Es zeigt sich, dass diese sehr einfach beschrieben und berechnet werden können. Die Entwicklung von Mechanismen zur Erzeugung dieser Bewegungen ist zukünftigen Forschungen vorbehalten.