Anwendungen von verallgemeinerten glatten Funktionen

Hauptziel des beantragten Projektes ist die Entwicklung mehrerer Anwendungen der Theorie der verallgemeinerten glatten Funktionen (VGF). Diese Funktionen eignen sich besonders zur Beschreibung schnell veränderlicher Phänomene, wie etwa dem Brechen von Stahlstrukturen, der Schaltung elektrischer Schaltkreise, der Bewegung in grobkörnigen Medien, der Quantenmechanik, usw. In diesem Kontext sind in jüngster Zeit neue Resultate zur Lösung von Differentialgleichungen bewiesen worden. In diesem Projekt wollen wir folgende theoretische Entwicklungen zusammen mit dazugehörigen Anwendungen entwickeln: 1. Lösung von Gleichungen mittels der Newton-Methode und das Pontryagin Prinzip für optimale Kontrolle. 2. Entwicklung der theoretischen Mechanik mittels VGF. 3. Visualisierung von VGF durch Programmierung in der Matlab Toolbox. Innovative Aspekte des Projektes sind somit eine umfassende Entwicklung der optimalen Kontrolltheorie, eine flexible und leicht zu erlernende Matlab Toolbox zur Visualisierung und Förderung der Intuition für Studierende und ForscherInnen in der Verwendung von VGF. Potentielle NutzerInnen sind daher sowohl in reiner und angewandter Mathematik als auch in Physik und Ingenieurswissenschaften zu erwarten. Die hauptsächlich beteiligten ForscherInnen sind der Antragsteller P. Giordano und Prof. M. Kunzinger, die Anstellung eines PhD Studierenden ist geplant.

Das Hauptziel des vorgeschlagenen Projekts war die Entwicklung mehrerer Anwendungen im Rahmen der generalisierten glatten Funktionen (GSF). Diese Funktionen sind nützlich, um sich schnell verändernde Phänomene zu beschreiben, wie z.B. das Brechen von Stahlkonstruktionen, den Zusammenstoß von Autos, das Schalten von elektrischen Schaltkreisen, die Bewegung durch verschiedene oder körnige Medien, die Quantenmechanik usw. In diesem Zusammenhang wurden kürzlich neue allgemeine Existenzresultate für Differentialgleichungen bewiesen. Im Rahmen dieses Forschungsvorhabens haben wir die folgenden theoretischen Entwicklungen mit entsprechenden Anwendungen untersucht: 1. Lösung von Gleichungen mit Hilfe der Newton-Methode und des Pontryagin-Prinzips für optimale Kontrolle. 2. Erweiterung von Mannigfaltigkeiten mit infinitesimalen und unendlichen Punkten und Entwicklung der Mechanik mit GSF. 3. Visuelle Darstellung der GSF durch Programmierung von Mathematica-Notebooks. Die innovativen Aspekte des Vorschlags sind daher eine breite Entwicklung der Theorie der optimalen Steuerung; eine Erweiterung der klassischen Mechanik auf Modelle mit verallgemeinerten Funktionen; flexible und einfach zu benutzende Mathematica-Notebooks zur Visualisierung und Verbesserung der Intuition von Studenten und Forschern in Bezug auf die Verwendung und Eigenschaften der GSF. Potenzielle Nutzer können daher sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik, in der Physik und in technischen Anwendungen gesehen werden. Die primär beteiligten Forscher sind Privatdoz. PhD P. Giordano und Prof. M. Kunzinger. Wir haben einen Doktoranden beschäftigt, der seine Dissertation vor Ende 2024 abschließen wird, und einen Postdoc, der jetzt eine feste Stelle als Forscher an der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg (DE) hat. Das Arbeitspaket 2 ermöglicht es uns, eine zukünftige Forschungszusammenarbeit mit japanischen Universitäten zu beginnen.