Hierarchien und Graphprodukten von Elementargruppen

Dieses Projekt befindet sich im Schnittpunkt der mathematischen Felder Algebra und Geometrie. Wir untersuchen algebraische Objekte, die als Gruppen bezeichnet werden. Dies sind die algebraischen Abstraktionen von Symmetriegruppen geometrischer Objekte. Um eine abstrakte Gruppe als Symmetriegruppe zu betrachten, müssen wir ein geeignetes geometrisches Objekt konstruieren, auf das die Gruppe einwirken kann. Die Geometrie dieses Objekts kann Aufschluss über die algebraische Struktur der Gruppe geben. Die besonderen Interessengruppen in diesem Projekt sind diejenigen, die aus den einfachsten Gruppen durch zwei verschiedene mögliche Operationen zum Kombinieren von Gruppen aufgebaut werden können. Auf diese Weise können wir komplizierte Gruppen bilden, obwohl sie aus möglichst einfachen Teilen bestehen. Man könnte erwarten, dass die entsprechenden geometrischen Objekte auf ähnliche Weise aus einfachen Stücken aufgebaut werden können. Dies ist wahr, aber es stellt sich heraus, dass manchmal dieselben Geometrien auf unterschiedliche Weise erstellt werden können. Eines unserer Hauptziele ist es zu zeigen, dass ein solches geometrisches Zusammentreffen darauf zurückzuführen ist, dass die beiden fraglichen Gruppen tatsächlich eng miteinander verbunden sind.

Dieses Projekt beschäftigt sich mit den Wechselwirkungen zwischen Algebra und Geometrie. Wir untersuchten algebraische Objekte, sogenannte Gruppen, die die Symmetrien eines geometrischen Raums darstellen. Besonders interessierte uns eine Konstruktion namens Graphprodukte elementarer Gruppen, die eine Gruppe beschreibt, die aus einfachsten Teilen gemäß lokaler, in einem Graphen kodierter Informationen aufgebaut ist. Diese Klasse umfasst zwei bekannte Familien, die rechtwinkligen Artin-Gruppen und die rechtwinkligen Coxeter-Gruppen. Ein Großteil unserer Arbeit konzentrierte sich darauf, zu bestimmen, wann Gruppen dieser beiden Familien ähnliche Geometrien aufweisen.