Echte Module, Clusteralgebren und Kac-Moody-Wurzelsysteme

Das vorgeschlagene Projekt sieht vor, an quantenaffinen Algebren und Clusteralgebren in der Mathematik zu arbeiten. Quantenaffine Algebren sind eine Familie von Quantengruppen. Quantengruppen wurden um 1985 von Drinfeld und Jimbo unabhängig voneinander eingeführt. Clusteralgebren wurden um 2000 von Fomin und Zelevinsky eingeführt. Clusteralgebren haben Verbindungen zu vielen ver- schiedenen Gebieten der Mathematik und Physik. Im Vorschlag werden wir an den folgenden Problemen arbeiten. 1. Echte Module über quantenaffinen Algebren und Clustermonomen in Grassmannschen Clus- teralgebren studieren, 2. Grassmannsche Cluster-Kategorien untersuche, 3. Geben Sie eine kombinatorische Beschreibung von reellen und imaginären Wurzeln im Kac- Moody-Wurzelsystem, das Gr(k,n) zugeordnet ist, 4. Wenden Sie Grassmannsche Clusteralgebren an, um Fragen aus der Physik zu untersuchen: Amplituhedrons und clusteralgebraische Funktionen. Die Antragstellerin plant eine Zusammenarbeit mit Karin Baur zu Grassmannschen Clusterkate- gorien und realen Wurzeln in Kac-Moody-Wurzelsystemen in den Teilen 2 und 3 des Antrags, mit Ran Tessler zu Amplituhedrons in Teil 4 und mit Marcus Spradlin zu algebraischen Cluster- funktionen in Teil 4 des Vorschlags.

Dieses Projekt untersucht die Darstellungstheorie von quantenaffinen Algebren und ihre Verbindungen zur Kombinatorik, zu Clusteralgebren und zur mathematischen Physik. Aufbauend auf den früheren Arbeiten der Projektleitung werden Strukturen wie echte Primmoduln quantenaffiner Algebren, duale kanonische Basen von Clusteralgebren, Symmetrien der Braid-Gruppen und Kac-Moody-Wurzelsysteme erforscht. Das Projekt hat explizite Formeln und Klassifikationen hervorgebracht, die in der theoretischen Physik Anwendung finden, beispielsweise in der Untersuchung von Streuamplituden und der N=4 Super-Yang-Mills-Theorie. Außerdem fördert es das Verständnis von tropischer Geometrie, Grassmann'schen Clusterkategorien und den Beziehungen zwischen verschiedenen Kategorifizierungen von Clusteralgebren. Durch diese Arbeit wurden internationale Kooperationen gestärkt, mathematische Werkzeuge der Darstellungstheorie weiterentwickelt und abstrakte algebraische Strukturen mit Anwendungen in der Physik verbunden.